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高考中经常会遇到求参数取值的试题,许多学生方法不当,繁而无效,甚至无从下手,根据多年的教学经验,我认为非常有必要研究一下这类试题的解法,以提高解题能力.
一、特值法
利用取特殊值方法解题,可出奇制胜,省去变形,减少运算,达到简而快的效果.
例1(2010年江苏卷)设函数f(x)=ex+ae-x(x∈R)是奇函数,则实数a=.
解析f(x)=ex+ae-x为奇函数,f(0)=0,得a=-1.
例2(2007年宁夏)设函数f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数,则实数a=.
解析f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数,
f(1)+f(-1)=0,得a=-1.
二、数形结合法
有些题目直接用代数方法去解,难度大,运算繁杂,效果差,而利用函数图像,以图助算,则效果突显.
例3(2007年天津)设a,b,c均为正数,且2a=log12a,12b=log12b,12c=log2c,则().
Aa
Bc
Cc
Db
解析用代数方法不易比较a与b的大小,图像一画,结果自显.故选A.
例4(2009年山东)若函数f(x)=a2-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.
解析设y=ax,y=x+a.
当a>1时,画图可知它们有两个交点,即函数f(x)有两个零点;
当0
故a>1.
例5(2007年全国卷)在ABC中,点D是AB边上的一点,若AD=3DB,CD=13CA+λCB,则λ=.
解析根据平行四边形法则画图可知λ=23.
三、转化法
有些求参数的题目,不易直接求解,最好利用转化法,但务必问题等价,否则就犯错.
例6(2010年全国卷)直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是.
解析问题转化为关于|x|的一元二次方程|x|2-|x|+a-1=0有四个不等实根.令t=|x|,转化为方程t2-t+a-1=0有两正根,故一元二次函数f(t)=t2-t+a-1与t轴正半轴有两个交点.
f(0)=a-1>0
f12=a-54
例7不论k为何实数,直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆x216+y2b2=1(b>0)恒有交点,则实数b的取值范围是.
解析直线y=kx+1过定点(0,1),
问题转化为点(0,1)在椭圆上或内部,b≥1.
椭圆焦点在x轴上,b
四、分离变量法
有些题目,若不把参数与变量彻底分开,就不易求出参数的取值.
例8(2009年福建卷理)若曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.
解析由题意可知f′(x)=2ax2+1x.又存在垂直于y轴的切线,2ax2+1x=0a=-12x3(x>0)a∈(-∞,0).
例9(2010年天津)设函数f(x)=x2-1,对任意x∈32,+∞,fxm-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,则实数m的取值范围是.
解析由题得x2m2-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)在x∈32,+∞上恒成立.
即1m2-4m2≤-3x2-2x+1在x∈32,+∞上恒成立.
当x=32时,函数y=-3x2-2x+1取得最小值-53,
1m2-4m2≤-53,即(3m2+1)(4m2-3)≥0,
解得m≤-32或m≥32.
本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解.
总之,审题要仔细,解题要根据题目特点,选用自己比较熟悉的解法去做题,不要刻意求新.我经常跟学生说:“笨”法可靠,“妙”招可贺,只要能在较短的时间内正确解答出来就成功了.