例析中考四边形新题型

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随着新课程改革的推进和新课标教材的实施，四边形中开放性、创新性试题在中考中频频出现，渗透观察、分析、猜测、验证、推理等数学活动，通过对图形的折叠、分割、拼接、设计、变换等操作，既考查学生的的动手实践操作能力，又培养其想象力和创造力。

一、探求条件型

例1（2007年安徽省中考题）如图1：在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形。

（1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若∠ABD=90°，求证：ABR≌CRD；

（2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？

证明（1）∠ABD=90°，AB∥CR

CRBDBC=CD∠BCR=∠DCR

四边形ABCR是平行四边形

∠BCR=∠BAR

∠BAR=∠DCR

又AB=CR，AR=BC=CD，

ABR≌CRD

（2）由PS∥QR，PS∥RD知，点R在QD上，故BC∥AD因为SＲ∥PQ∥BA，所以∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD由PS∥BC及BC=CD知SP=SD，而SP=DR，所以SR=SD=RD故∠CDA=60°因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°。

（注：若推出的条件为BC∥AD，∠BAD=60°或BC∥AD，∠BCD=120°等亦可。）

评析 此类问题给出了结论，需要学生自己分析、探索，使该结论适应所具备的条件，常用逆向思维来思考。

二、探索结论型

例2（2007年山东省青岛市中考题）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D＇处，折痕为EF。

连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论。

证明四边形AECF是菱形，由折叠可知：

AE=EC，∠4=∠5

四边形ABCD是平行四边形，

AD∥BC ∠5=∠6

∠4=∠６ AF=AE

AE=EC AF=EC

AF∥EC四边形AECF是平行四边形

AF=AE 四边形AECF是菱形

评析此类问题要求学生根据所给条件合理推测，并说明理由。

三、猜想探究型

例3（2007年辽宁省大连市中考题）如图1，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，那么EFAE”。他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图2、图3、图4），其他条件不变，发现仍然有“EFAE”的结论。

你同意小明的观点吗？若同意，请结合图4加以证明；若不同意，请说明理由。

解同意

证明如图，延长AE交BC延长线于点G。

四边形ABCD是平行四边形，

AD∥BC，∠D=∠ECG

E为DC的中点，

DE=EC

又∠DEA=∠CEG，

ADE≌GCE（ASA）

AE=GE，∠DAE=∠G

∠FAE=∠DAE，∠FAE=∠G

FA=FGEFAE

评析本题将普遍的几何证明，设计成探索性问题，形成“证明―拓展―猜想―判断―证明”一条龙的数学活动，合情推理与逻辑推理相结合，完成整个思维活动过程。

四、图形变换型

例4（2007年四川省资阳市中考题）如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PEBC于点E，PECD于点F。

（1）求证：BP=DP；

（2）如图2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明。

（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论。

解（1）解法一：在ABP与ADP中，利用全等可得BP=DP。解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP。

（2）不是总成立。

当四边形PECF绕点C逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP>DC>BP，此时BP=DP不成立。

(3)连接BE、DF，则BE与DF始终相等。

在图1中，可证四边形PECF为正方形，在BEC与DFC中，可证BEC≌DFC从而有BE=DF。

评析本题让学生在旋转变换中探索基础图形，蕴含规律，揭示图形变化中本质的数量关系。可以表现从事观察、实验、数学表达猜想、证明等数学活动方面的能力。

五、动点运动型

例5 （2007年浙江省杭州市中考题）在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm（如图1）。动点P、Q同时从点B出发，点P沿BA、AD、DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s。而当点P到达点A时，点Q正好到达点C。设P、Q同时从点B出发，经过的时间为t(s)时，BPQ的面积为y（cm2）（如图2）。分别以t，y为横、纵标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN。

（1）分别求出梯形中BA、AD的长度；

（2）写出图3中M、N两点的坐标；

（3）分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象。

评析本题在考查学生探究能力的同时，涉及数形结合思想、分类讨论思想，并且要求学生具备运动变化基本知识，通过探索、归纳、猜想获得图形在运动中是否保留或具有某些性质。

六、图形剪拼型

例6（2007年河北省中考题）在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b，且边AD和AE在同一直线上。

操作示例

当2b

思考发现

小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG绕点F逆时针旋转90°到FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上。连接CH，由剪拼方法可得DH=BG，故CHD≌CGB，从而又可将CBG绕点C顺时针旋转90°到CHD的位置。这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FMAE于点M（图略），利用SAS公理可判断HFM≌CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°。进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形。

实践探究

（1）正方形FGCH的面积是 ；（用含a，b的式子表示）

（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2~图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图。

联想拓展

小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移。

当b>a时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由。

解实践探究（1）a2+b2 （2）剪拼方法如图（1）―图（3）

联想拓展能；

剪拼方法如图4（图中BG=DH=b）

评析此题提示了研究问题的重要方法：操作、思考发现、实践探究、联想拓展。同时此题也采用了类比的研究方法，将图形割补的方法使用在某种属性上相同或相似的其他图形上，凸显了这种研究方法的重要价值。

七、实际应用型

例7（2007年重庆市中考题）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：

（1）用含x，y的代数式表示地面总面积；

（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍。若铺1m2的地砖平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？

解（1）地面总面积为：6x+2y+18（m2）

（2）由题意得6x+2y=216x+2y+18=15×2y

地面总面积为：6x+2y+18=45（m2）

铺地砖的总费用为：45×80=3600（元）

评析 紧密联系学生生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展计算或推理，使他们获得一些研究问题的方法和经验，提高学习数学的兴趣，发展思维能力，体会数学实用性、工具性。

八、方案设计型

例8（2007年吉林省中考题）图1是等腰梯形ABCD，其中AD∥BC，AB=DC，图2是与图1完全相同的图形。

请你在图1、图2的梯形ABCD中各画一个与ABD全等但位置不同的三角形，使三角形的各项顶点在梯形的边（含顶点）上。

评析本题操作比较简单，学生容易解答，注意用操作实验考察数学思维能力和分析问题、解决问题的能力，利用开放的评价标准激发学生的潜能。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”