超级画板辅助数形结合思想培养的应用与探究
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摘要：数形结合思想贯穿着整个初高中，它不仅是一种巧妙的解题方法，还是一种严谨的数学思维，只有当思维图式形成，才能真正做到方法的运用。
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）14-0182-02
在科技发达的今天，创新型人才是社会的争抢者，培养创新型人才也是素质教育所倡导的教育目的，教师在教学过程中不但要教会学生知识与能力，发展学生的智力，还应培养学生的非智力因素与辩证思维能力。
一、数形结合思想的重要性
数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学。坐标轴的诞生使得数成为形的抽象概括，形成为数的直观表现。
二、数形结合思想的培养途径
如何培养数形结合思想？通过什么途径进行培养？在传统的教学中往往通过粉笔、黑板、模具等进行展示，缺少精确度与柔美性，老师画得辛苦，学生看得痛苦，尤其当遇见空间几何体与球体中动点运动的轨迹时，教师就更难在黑板上进行演示。
三、问题解决教学的意义
数学的真正组成部分是问题和解决问题，问题是数学的心脏，问题解决作为学习数学课程的一个实践性环节，能使学习者深入地理解数学概念，全面系统地掌握数学知识。
四、问题解决中数形结合思想培养的过程
问题解决作为个人的认知行为活动，近年来已被国内外心理学家从多角度对其进行了全面的研究，并取得了丰硕的成果。其中巴浦洛夫提出的三条经典条件反射学习律给予笔者很大启示：（1）消退律；（2）泛化律；（3）分化律。他强调，一个刺激如果得不到强化，那么之前形成的联结就会消退，如果施与之前刺激类似的刺激进行强化，则对这一系列的刺激都会得到加强。因此，对数形结合思想的培养，需要用同一系列的刺激，从简到繁不断地进行强化，在泛化的过程中达到巩固。结合这一理论笔者将问题解决教学归纳为四个过程：表征问题，解答问题，思路总结，思想迁移。在这四个过程中逐步进行数形结合思想的培养，那么如何利用超级画板在这四个过程中培养学生的数形结合思想？以下用一案例进行分析。
案例：求函数y=|x+2|+|x+1|+|x|+|x-1|+……+|x-2011|的值域。
题目刚被展示出来，学生已经嘘声一片，该题难度较大，确实很难解出，笔者试图先用简单形式进行诱导，进而启发学生发现新知。
先求函数y=|x+5|+|x-3|的值域：
绝对值在高中课本中是非常重要的知识点，每一个绝对值都可展成两个不同的式子，如|x+5|=x+5 x≥-5-x-5 x
在数形之间进行转换，让学生在直观的教学中感受绝对值的几何意义，从而更加深刻地认识到将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来的过程，达到对知识的理解与运用，用超级画板动态演示解决问题的过程如下：
1.表征问题：由数到形的转变。绝对值|a-b|的几何意义是：数轴上a，b两点之间的距离。y=|x+5|+|x-3|即求数轴上任意一点与-5的距离加上与3的距离的和的所有取值。这样就将抽象的代数语言与直观的图形语言进行沟通，达到以形表数的目的。
2.解答问题：以形解数的体现。笔者在超级画板中绘制出数轴及点A（-5，0），B（3，0），在数轴上任取一点C，测量|AC|，|BC|，|AC|+|BC|的长度（如图1）。拖动C点在数轴上来回运动，让学生观察|AC|，|BC|，|AC|+|BC|的值的变化，笔者提问：C点在A，B两点之间运动与在A，B两点之外运动时|AC|+|BC|的值有什么变化？并诱导学生讨论C点运动到什么位置时，|AC|+|BC|的值达到最小。学生通过观察，很容易知道：当C点在A，B两点之间运动时，|AC|+|BC|=8恒成立，当C点从A点开始往-∞运动，或C点从B点开始往+∞运动时，|AC|+|BC|的值比8逐次增大，当C点在A，B两点间的任何位置处时，|AC|+|BC|的值达到最小，最小值为8，在这个过程中，笔者试图让学生从动态的“形”中体会到|AC|+|BC|的不同变化，学生通过观察可直接得出结果|x+5|+|x-3|≥|AC|+|BC|min=8。即|x+5|+|x-3|≥8。学生将绝对值式的代数语言与数轴上点之间的距离产生联结，从而在大脑编码中形成数形结合图式。
3.思路总结：由形到数的回归。笔者诱导学生得出结论：求解y=|x-a|+|x-b|，（a
4.思想迁移：数形结合思想的强化。通过超级画板的演示，让数与形之间完美地结合。学生兴趣大增，心情异常兴奋，不禁大赞超级画板的神奇。此时笔者继续对题目升华，将题目改为：求函数y=|x+5|+|x-3|+|x+2|的值域。笔者组织学生小组合作，组间讨论，并让学生自己动手演示（如图2），笔者提问：C点在A，D，B三点之间运动时，|AC|+|BC|+|DC|的值发生了什么变化，它的最小值又为多少？达到最小值时C点在什么位置？学生积极讨论，类比刚学习的知识，很快就可以得出结论：当C点运动到与D点重合时，|AC|+|BC|+|DC|的值达到了最小，最小值为8，C点从D点开始往-∞运动，或C点从D点开始往+∞运动时，|AC|+|BC|+|DC|的值逐次比8增大，函数y=|x+5|+|x-3|+|x+2|的值域为{y|y≥8}。在此过程中，笔者用类似的刺激对学生进行诱导，学生很快达到了知识的迁移，数形结合思想得到了再次的加强，思想的迁移初见成效。笔者诱导学生总结出：求解y=|x-a|+|x-b|+|x-c|，（a
笔者继续组织学生讨论y=|x+5|+|x-3|+|x+2|+|x-1|的值域，学生的积极性大增，兴趣达到至高点，争先抢后地要亲自操作（如图3），学生用类似的方法可找到|AC|+|BC|+|DC|+|EC|的最小值为11，取最小值时C点再D，E之间的任何位置。即y=|x+5|+|x-3|+|x+2|+|x-1|的值域为{y|y≥11}，可见用超级画板演示数轴上点的运动这一类似刺激与数形结合思想的联结已经得到了泛化，并在学生的头脑中形成了固定的图式，数形结合思想达到了巩固与加强。
学生总结出：求解y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|，（a
笔者用超级画板对y=|x+5|+|x-3|+|x+2|+|x-1|+|x+1|进行验证（如图4），猜想正确。数形结合思想得到泛化并巩固。
笔者鼓励学生猜想并验证得：对于
|x-a|+|x-b|+|x-c|+……+|x-n|，（a
原题：求函数y=|x+2|+|x+1|+|x|+|x-1|+……+|x-2011|的值域。便可得到解决，最小值m=（1005-1004）+（1006-1003）+……+（2008-1）+（2009-0）+[2000-（-1）]+[2011-（-2）]=2019054，则值域为{y|y≥2019054}。
五、结束语
超级画板的动态演示使学生的数形结合思想得到了强化与巩固，而数形结合思想的培养也绝非一日之功，需要在今后的学习中不断加强练习与探索。
参考文献：
[1]张同君.中学数学解题探究[M].东北师范大学出版社，2001.
[2]张景中.动态几何教程[M].科学出版社，2007.