山穷水复处 柳暗花明时

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平面向量模的最值问题是浙江高考命题的热点之一，也是其他省份的常考内容.在高考复习中学生对向量有一种莫名的“恐惧”，对这个既有大小又有方向的量总是把握不好，对向量模的最值问题更是一头“雾水”，不知如何处理.

向量的模，我们有两方面可以考虑：首先向量的模即向量的大小，可以利用几何意义考虑线段长度的最大（小）值;其次向量的模可以计算，利用代数意义考虑转化为函数的最值（或恒成立问题）.下面就向量的模最值问题展开讨论.

1.体会高考，领悟通解通法

我们先看一题

例1 （2015浙江高考数学理科第15题）已知e1，e2是空间单位向量，e1・e2=12，若空间向量b满足b・e1=2，b・e2=52，且对于任意x，y∈R，b-xe1+ye2 ≥b-xoe1+yoe2=1，x0，y0∈R 则x0=

，y0=

，|b|=

.

从几何方面考虑，条件e1，e2是空间单位向量，e1・e2=12可知e1，e2的夹角为π3.空间向量b满足b・e1=2b・e2=52则可知b在e1，e2上投影分别为2和52.故作四棱锥P-ABCO，∠BAC=60°，PO面ABC，ACPC，ABPB，

令e1，e2为AB，AC上的单位向量，AP=b，

由题可知PO=AP-AO=b-x0e1+y0e2=1，AB=2，AC=52.

由余弦定理可得BC=212，因为点A，B，C，O 共圆，所以AO 为ABC 外接圆直径，结合正弦定理可得AO=7，|b|=AP=AO2+PO2=22.

易知ACCO，ABBO.

2.概括总结 提升探究能力

从例1可以看出，解题的切入点可以是从几何意义出发.考虑定义，向量的模即向量的长度，模的大小就是表示向量的有向线段的长短，从而可以转化为两点间距离的最大（小）.例1中b-xe1+ye2表示差向量的模，而xe1+ye2由平面向量基本定理可知表示与e1、e2共面的任意向量，这样差向量的模的最小转化为点到面的距离.在这里值得注意的是作为差向量的两个向量要把握好一个向量为已知向量另一个向量为含有未知量的向量.在找到切入点之后如何求|b|，x0，y0则需要相应的几何知识，例1中用到四点共圆、正弦定理以及平面向量数量积的几何意义.

解题的切入点还可以从代数意义出发，模的大小用变量表示.被变量表示后则可以利用函数知识求最值，常用的方法有利用配方、单调性、导数、基本不等式、有界性等求最值;也可以利用判别式求最值，例1中用配方法和判别式法求模的最小值，由于问题中有两个变量，一次用判别式不足以解决问题而是用了两次;在配方时则选择先对x 配方再对y 配方.

3.触类旁通 提高解题能力

几何方法主要考虑用两点间距离表示差向量的模即两点距离的向量形式，故适用于差向量的模的问题;代数方法主要利用函数求最值和判别式求最值.

我们再看一题.

例2 （2013年浙江高考理科17题）设e1，e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，y∈R，若e1，e2的夹角为π6，则|x||b|的最大值等于

解法一 （几何方法）显然x≠0，求|x||b|的最大值即求|b||x|最小值，|b||x|=xe1+ye2x=e1+yxe2，令t=-yx，则|b||x|=e1-te2，由差向量的几何意义知e1-te2min即向量e1 的终点到向量e2所在直线的距离，e1=1，〈e1，e2〉=π6 ，e1-te2min=12，

显然例2也是涉及向量的模的最值问题，解法一通过先转化为两点间距离的向量形式（即差向量表示），再等价于求点到直线的距离;在转化过程中用到加上一个向量等于减去一个相反向量的知识，与课本中讲解向量减法的时候减去一个向量等于加上一个相反向量的情形相反.解法二中两边平方后转化为常见的“二次二次 ”的齐次结构，然后转化为二次函数问题配方解决.解法一、二从几何角度与代数角度来解释向量的模，与例1一样利用两点间距离的最值和函数的最值知识解题，两题形神皆有共同之处.

要解决向量的模的最值问题，要明确问题中的条件是什么，向量的模怎么表示，用几何意义还是代数意义，模的最值与条件有什么联系，可以用什么方法来求.明确了条件选择了模的表示方法，学生答题就不会不知所措;理解了两点间距离的向量形式，则提供了学生继续用几何方法解题的方向，当然理解了函数求最值的常用方法也提供了继续用代数方法解题的方向.

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.例1、2就是从这点出发，破除解题的心理畏惧，借助定义（向量模的代数意义和几何意义），将不熟悉的问题转化为相似的、熟悉的问题，可谓山重水复疑无路，柳暗花明又一村.