讨论数学问题如下棋

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例：设椭圆中心在坐标原点，A（2.0），B(0.1)是它的两个顶点，直线y=kx(k＞0）与 AB相交于D点，与椭圆相交于 E、F两点．（Ⅰ）若■=6■，求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

这道题给出了标准答案，但是有“跳步”的现象，学生不易理解.我和张老师一边自己做题目，一边讨论问题，相当于下棋中的“复盘”.

解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为■+y■=1，

直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k>0）．

如图，设D（x0，kx0），E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1

且ｘ１，ｘ２满足方程（１＋４k２）ｘ２=4，

故ｘ２＝－ｘ１＝■①

由■=6■知ｘ０－ｘ１＝６（ｘ２－ｘ０），得ｘ０＝■（６ｘ２＋ｘ１）＝■ｘ２＝■；

由D在AB上知ｘ0+2kx0=2，得ｘ0=■．

所以■=■，

化简得24k2-25k+6=0，

解得k=■或k=■．

对于第（Ⅱ）问，我们讨论了四边形面积怎么求，可以看成SABE+SABF，线段AB的长度容易求，还要用到点到直线的距离公式；也可以看成SBEF+SAEF，要用到弦长公式和点到直线的距离公式.两种方法都可以，这要看每个人的“棋风”是怎样的，是偏稳重的，还是偏激进冒险的.相对来说，解法一是比较稳重的，三角形的边AB上的高和面积都用变量k表示出来.

（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E、F到AB的距离分别为

h1=■=■，

h2=■=■．

又AB=■=■，所以四边形AEBF的面积为

S=■AB（h■+h■）=

■・■=■

=2■≤2■，

当做到Ｓ＝■时，张老师问怎么办，我说要把１＋２k放在根号里面去，张老师将上式变形为Ｓ＝２■，我说要用分离常数法，然后分子分母同时除以k，转化为基本不等式的模型来做，他说是哦，就没有往下“复盘”.当然，对于学生来说，他们要多一些时间来消化，他们肯定要继续做下去的.

当2k=1，即当k=■时，上式取等号．所以S的最大值为2■．

解法二：由题设，BO=1，AO=2．

设y1=kx1，y2=kx2，由①得x2>0，y2=-y1>0，

故四边形AEBF的面积为S=SBEF+SAEF=x2+2y2.

怎么面积S的表达式那么简单？于是我尝试了一下我的心算能力，希望能够接近下棋中的“盲棋”的地步.我没有在纸上写出过程，而是心想：弦长公式为EF=■x■-x■=2x■■，这里面有■，计算结果怎么会没有了呢？这时张老师提示说求点B到直线EF的距离等于■，■刚好约分约掉了.

S=■=■≤■=2■，

当时x2=2y2，上式取等号．所以S的最大值为2■．

当时S=x2+2y2，要怎么往下走，要注意到点在椭圆上，满足

x■■+4y■■=4（关键时刻要观察整个棋局的大势），又x2+2y2>0，所以要把S变形为■=■，这时x■■+4y■■为一个定值，而4x■y■要用基本不等式了.课堂上不一定能讲到这里，但是我们作为数学老师，此时感受到了这道题的精妙所在，刚好能够用到已知条件，刚好能用基本不等式！比较难的数学问题往往要推导到差不多时才能看出它所用的数学模型.

讨论数学问题如下棋，一步一步推导，就是一步一步“下棋”的过程，有的时候要走一步看三步，有的时候甚至可以下“盲棋”，锻炼自己的数学思维，以达到“下棋”的最高境界！