FM―空间()型相容映射的公共不动点(全文)

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摘要文中主要介绍了模糊度量空间（简称，fm-空间）（）型相容映射的性质，然后给出FM-空间中相容映射的公共不动点定理和相应的推论。

关键词公共不动点（）型相容映射模糊度量空间

中图分类号：O177.91 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2016.03.013

Common Fixed Point of FM- space （） Type Compatible Mappings

LIU Qingtao

（Dalian Electronic School， Dalian， Liaoning 116023）

Abstract This paper introduces the fuzzy metric space （referred to， FM- space）（） type compatible with the mapping of nature， and then gives FM- space compatible mapping Common Fixed Point Theorem and the appropriate inferences.

Key words Common Fixed Point；（） type compatible mapping； fuzzy metric space

早前，Zadeh[3]首次给出了模糊集的概念，从此许多学者们开始研究模糊集理论及其应用。Deng[5]给出了模糊度量空间概念之后，Erceg[2]、kramosil 和Michalek [1]、Kaleva a和Seikkala[4]也采用不同方式介绍这个概念，研究者们纷纷在不同方式下研究模糊度量空间的不同点问题。本文主要是研究模糊度量空间中（）型相容映射的不动点问题。

定义1.1[8] 设和是FM-空间（，，*）中自身的两个映射，若（，，） = 1，HO>0；且中序列{}满足 = = ，其中，则称和是相容的（或接近交换）。

定义 1.2[9] 设和是FM-空间（，，*）中自身的两个映射，若对任意>0有（，，） = 1 and （，，） = 1，且中序列{}满足 = = ，其中，则称和是（）型相容映射。

定义1.3[10] 设和是FM-空间（，，*）中自身的两个映射，若对任意>0有（，，）≥（，，）和（，，）≥（，，），且中序列{}满足 = = ，其中，则称和是（）型相容映射。

为了方便研究相容映射的不动点，为此给出下面性质。

性质 1.4 设（，，*）是具有*≥，[0，1]的FM-空间，若和是中两个（）型相容映射，若对于中的某一，有 = ，则 = = 。

证明：设{}是中序列，对于=1，2，…，定义 = ， = = 。于是当时，有 = ， = 。因而（，，） = （，，）≥（，，） = 1，即 = 。因为 = ，所以 = = = 。

性质 1.5 设（，，*）是具有*≥，[0，1]的FM-空间，和是中两个（）型相容映射，假设中序列{}满足对中某一，使得 = = 成立，那么

（1）若在处连续，则 = 。

（2）若在处连续，则 = 。

（3）若和在处连续，则 = 和 = 。

证明：（1）因在处连续，所以对中任意t，当时，有，。

从和是中两个（）型相容映射，可得

（，，）≥（，，）*（，，）≥（，，）*（，，） = 1*1≥1

所以 = 。

（2）与（1）证明类似。

（3）设和在处是连续，当 +时，有。根据（1）可得，且从的连续性可以得出，因而 =。依据性质1.4 ，有 = 成立。

定理 1.6 设（，，*）是具有范数*≥，[0，1]的FM-空间，、、和是中的自身映射，若满足下列条件：

（1）（）H眩ǎ┖停ǎH眩ǎ？

（2）{， }和{， }是两对（）型相容映射。

（3）四个映射、、和其中之一是连续的。

（4）存在（0，1）满足

（，，）≥（，，）*（，，）*（，，）*（，，（2））*（，，）

其中，（0，2）和>0。

则、、和在中有唯一公共不动点。

证明：由条件（1），对于任意，定义序列{}满足 = 和 = ，其中 = 0，1，2，…。

设 = 和 = ，则HO>0和 = ，其中（0，1），依据条件（4）有

（，，） = （，，）≥（，，）*（，，）*（，，）*（，，（））*（，，） = （，，）*（，，）*（，，）*（，，（））*（，，）≥（，，）*（，，）*（，，）

因-范数*是连续的，且（，，・）是左连续的，令1，得到

（，，）≥（，，）*（，，）

同理，可得

（，，）≥（，，）*（，，）

所以（，，）≥（，，）*（，，），其中 = 1，2，3，…。

因此，对正整数、来说，有（，，）≥（，，）*（，，）

当+时，有（，，）1，于是有（，，）≥（，，）。

根据引理1.9[10]，{}是中的柯西序列。由的完备性，得出序列{}收敛中的点。同样，{}的子序列{}，{}和{}也收敛于点。

假设是连续的，因为和是（）型相容映射，从性质1.5可以得出当时，有，。在 = 1的情况下运用条件（4），可得

（，，）≥（，，）*（，，）*（，，）*（，，）*（，，）

当时，有（，，）≥（，，）*（，，）*（，，）*（，，）*（，，）≥（，，）。根据引理1.10[10]，所以 = 。因为（）H眩ǎ嬖谝桓龅懵？= = 。再运用条件（4），令 = 1，可得

（，，）≥（，，）*（，，）*（，，）*（，，）*（，，）

当时，有（，，）≥（，，）*（，，）*（，，）*（，，）*（，，）≥（，，）。引理1.10[10] 证实了 = 。因为和是（）型相容映射，且 = = ，依据性质1.4，得到 = 。所以 = = = 。继续利用条件（4），令 = 1，则有

（，，）≥（，，）*（，，）*（，，）*（，，）*（，，）

令，可得（，，）≥（，，），所以 = 。因为（）H眩ǎ嬖谝桓龅懵？ = = 。依据 = 1时的条件（4），可得

（，，） = （，，）≥（，，）*（，，）*（，，）*（，，）*（，，）

即 = 。因为和是（）型相容映射，且 = = ， = ，因而 = = = 。所以是、、和的一个公共点。

现在假设是连续的，由和是（）型相容映射，从性质1.5可以得到当时有，。在 = 1时依据条件（4），可得

（，，）≥（，，）*（，，）*（，，）*（，，）*（，，）

当时，有（，，）≥（，，）*（，，）*（，，）*（，，）*（，，）≥（，，）。由引理 1.10[10] ，故 = 。再运用条件（4），在 = 1情况下有

（，，）≥（，，）*（，，）*（，，）*（，，）*（，，）

令，则（，，）≥（，，）*（，，）*（，，）*（，，）*（，，）≥（，，）

引理1.10[10] 证实 = 。因（）H眩ǎǎ虼舜嬖谝桓龅懵？= = 。运用条件（4），在 = 1情形下得到

（，，） = （，，）≥（，，）*（，，）*（，，）*（，，）*（，，）≥（，，）

即有 = 。因和是（）相容映射，且 = = ，由性质1.4可得 = 。所以 = = = 。运用条件（4），由 = 1可得

（，，） = （，，）≥（，，）*（，，）*（，，）*（，，）*（，，）≥（，，）

因而 = ，且是、、和的一个公共不动点。

由条件（4）很容易得出的唯一性。同理，可以证明和其中之一是连续的情况。

定理 1.7 设和是完备模糊度量空间中的两个自身映射，且具有范数*≥，HO[0，1]，其中和之一是连续的。则和在中有公共不动点的充要条件是中存在自身映射和满足下列条件：

（1）（）H眩ǎ┖停ǎH眩ǎ？

（2）或是连续的。

（3）{， }和{， } 是两个（）相容映射。

（4）存在（0，1）满足

（，，）≥（，，）*（，，）*（，，）*（，，（））*（，，）

其中，，（0，2）和>0。

证明：必要性。设和在中有公共不动点，则 = = 。现定义两个映射和，对任意，满足 = ， = ，则有 = = = = 。因此条件（1）、（2）和（3）是成立的。因为（，，） = （，，），所以条件（4）成立。

充分性。显然由定理1.6可得。

现在由定理1.6 在条件 = 和 = 下得出的一些推论。

推论1.8 设（）是具范数*≥ ，[0，1]的完备FM-空间，若中两个自身映射和满足下列条件

（1）（）H眩ǎ？

（2）{， }是（）型相容映射。

（3）和之一是连续的。

（4）存在（0，1）满足

（，，）≥（，，）*（，，）*（，，）*（，，（））*（，，）

其中，，（0，2）和>0。

则和在中有唯一的公共不动点。

如果用中的等同映射替换定理1.6的S和T，可以得到下面的结果。

推论 1.9 设（）是具*≥ ，[0，1]的完备FM-空间，中的两个自身映射和满足下列条件：

（1）和之一是连续的；

（2）存在（0，1）满足

（下转第32页）（上接第27页）

（，，）≥（，，）*（，，）*（，，）*（，，（））*（，，）

其中，，（0，2）和>0。

则和在中有唯一公共不动点。

推论1.10 设（）是具*≥ ，[0，1]的完备FM-空间，是中的自身映射，若存在（0，1）满足对任意，，有（，，）≥（，，）成立，则和在中有唯一公共不动点。

备注1.11 定理1.6 推广和模糊了文献[7]中的定理2.2。推论1.10 延伸了巴拿赫压缩定理，在文献[8]中也称作模糊巴拿赫压缩。

参考文献

[1] O.Kramosil and J.Michalek ， fuzzy metric and statistical metric spaces， Kybernetica 11（1975）：326-334.

[2] M.A.Erceg ， Metric space in fuzzy set theorey ， J.Math. Appl， 69（1979）：205-230.

[3] L.A.Zadeh ， Fuzzy sets ， Inform. Control 8（1965）：338-352.

[4] O.Kaleva and S.Seikkala ， On fuzzy metric spaces， Fuzzy sets and systems12（1984），215～229.

[5] Z.K.Deng ， Fuzzy preudo-metric spaces ， L.Math Anal.Appl. 86（1982）：74-95.

[6] M.Grabiec， Fixed point in fuzzy metric spaces ， Fuzzy sets and Systems 27（1988），385～389.

[7] S.M.Kang and Y.J.Chao . G.Jungck ， common fixed points of compatible mappings， Internat.J.Math. & Math.Sci. Vol. 13 No.1（1990）：61-66.

[8] S.N.Mishra ， N.Sharma and S.L.Singh ， Common fixed points of maps on fuzzy metric spaces ， Internat.J.Math. & Math.Sci.17（1994）：352-358.

[9] Y.J.Cho. Fixed points in fuzzy metric spaces，to appear Internat.J.Fuzzy Math（1996）.

[10] 刘庆涛.模糊度量空间的（）型相容映射及性质.数学学习与研究，2016（2）.

FM―空间()型相容映射的公共不动点

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