情境\探究与创新

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课程改革的核心环节是课程的实施，课程实施就是把教学内容呈现，呈现过程中要注重体现知识的发生和发展过程，要促进学生的自主探究，要有利于改进学生的学习方式，要促进学生主动地学习和发展，那么，如何在教学内容呈现中体现课程改革的精髓呢？经过笔者近3年的课堂教学改革实验探索，认为新课程下教学内容的呈现方式应是：创设问题情景建立数学模型探究模型本质利用本质创新，新课程下教学过程的核心应是：探究与交流引导与掌握内延与外拓。

一、创设好问题情景，铺好创新之路

创设问题情景：我们的教学内容应该从学生的实际出发低起点引入，创设有助于学生自主学习的问题情境，注重学生对问题最原始、最朴素的认识，在学生自己所熟悉的生活环境、所掌握的数学知识之中寻找素材，积极创设现实的、有意义的、富有挑战性的问题情景，从而找准问题解决的切入点和新知识的生长点，以便于学生进行观察、实验、猜想、验证、推理、交流等活动，从而激发学生学习的好奇心与求知欲，促进学生问题的解决、知识的掌握、能力的形成。

因为数学的产生和发展，始终与人类社会的生产、生活有着密不可分的联系。任何一个数学概念的引入，总有它的现实或数学理论发展的需要。新教材在这一点上已吹响了号角，和旧教材相比更注重问题情境的创设，比如在学习数列之前给出印度国王与国际象棋的故事等等，其实更多的情境需要我们来挖掘。

如“函数”的概念是高一数学中较难理解的概念，教学中就可以从一个有趣的“绕圈子”问题谈起，在世界著名水都威尼斯，有一个马尔克广场，广场的一端有一座宽82米的雄伟教堂，教堂的前面是一方开阔地，这片开阔地经常吸引着四方游人到这里来做一种奇特的游戏，先把眼睛蒙上，然后从广场的一端走向另一端看谁能到教堂的正面，你猜怎么着？尽管这段距离只有175米，竟没有一名游客能幸运地做到这一点，他们都走了弧线或左右偏斜到了另一边。1896年，挪威生物学家揭开了这个谜团。他搜集了大量事例后分析说：这一切都是由于个人自身的两条腿在作怪！长年累月的习惯，使每个人伸出的步子要比另一条腿伸出的步子长一段微不足道的距离，而正是这一段很小的步差x，导致人们走出了一个半径为y的大圆圈！设某人两脚踏线间隔0.1米，平均步长为0.7米，当人们在打圈子时，圆圈的半径y与步差x为如下的关系：y=（0＜x＜0.1）。

上述生动和趣味性的学习材料是学习的最佳刺激，在这种问题情境下，将函数的定义有变量（传统定义）引向集合、映射说（近似定义），学生在这种情景下，乐于学习，有利于信息的储存和概念的理解。

又如我们在学习两个平面垂直的判定定理时，青岛市正准备2007年的奥帆赛，于是就以帆船为例进行提问：“帆船的帆只要紧靠船杆，则不论风向如何，船帆怎样旋转，船帆总是与船面保持垂直，为什么呢？这样一提问，必会激起学生深入的思考，从而利于激发学生的求知欲和调动思维的积极性。

二、建立数学模型，引好创新之路

实际问题数学化，数学问题逻辑化，即一个实际问题的解决首先转化为数学问题，然后把数学问题转化为数学知识去解决。在这个过程中，要让学生尝试建立不同的数学模型，带动问题的解决和知识的掌握，让学生存在于头脑之中的那些不那么正规的数学知识和数学体验上升为科学的结论，发展为更完善、合理的数学概念和知识框架。并且通过这一过程，使学生理解问题是怎样提出来的、一个概念是怎样形成的、一个数学结论是怎样获得的。在充满探索的过程中，从中感受数学发现的乐趣，增进学好数学的信心

课堂教学中，教师应努力在数学模型形成过程的“关键点”上，在运用数学方法产生解决问题策略的“关节点”上，在数学知识之间联系的“联结点”上，在数学问题变式的“发散点”上，在学生思维的“最近发展区”内，提出构建和谐、民主的课堂教学氛围，鼓励学生积极思考，大胆质疑，使学生领悟发现数学模型。

建立数学模型，凸显了数学的应用价值，数学建模教学是一个引导学生学数学、做数学、用数学的过程，这对于提高学生数学素质，培养创新能力大有益处。新课程教材在必修1部分引入了大量的贴近学生生活的实际问题，如用数列思想解决分期贷款的还款问题，出租车的计价问题等。在课堂教学中，教师还应因地制宜的收集、改造、编制新颖的应用问题，并引导学生开展探究活动，就可以初步改变学生的学习方式，激活学生的创新意识，提高课堂教学效率，进而使学生学会探究学习。

一般讲授这部分内容的时间正好在十月一日左右，黄金周期间商场免不了要进行促销，则可以利用报纸上的广告编制研究性问题如下：利群商厦实行有奖销售：特等奖10000元1名，一等奖1000元2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名；百盛商厦则实行九五折优惠销售。请你判断一下：哪一种消费方式更吸引人？哪一家商厦提供给消费者的实惠大？

学生分小组研讨相继得出结论，在自行纠正的过程中，终于总结汇总如下：由于利群商厦每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制，所以这个问题应分类讨论分析如下

（1）若利群商厦确定每组设奖，参加的人数较少，少于213（1+2+10+200=230）人，获奖机率较大，则利群商厦的销售方式更吸引顾客。

（2）当利群商厦每组营业额较多时，它给顾客的优惠幅度就相应的小。因为利群商厦提供的优惠金额是固定的，共14000元（10000+2000+1000+1000=14000）；假设两商厦提供的优惠都是14000元，则可求百盛商厦的营业额为280000元。

由此得出结论：

（1）当两商厦的营业额都为280000元时，两商厦提供的优惠一样多。

（2）当两商厦的营业额都不足280000元时，百盛商厦的优惠则少于14000元，利群商厦提供的优惠仍是14000元优惠大。

（3）当两商厦的营业额都超过280000元时，百盛商厦的优惠则大于14000元，利群商厦提供的优惠仍是14000元，百盛商厦提供的优惠大。

其实，象这样的问题在日常生活中随处可见，采用自探互研、合作学习模式，可以增强学生的学习兴趣、学习信心、竞争意识、主动合作的精神，促进学生个性的发展。在过程中学会学习，在过程中学会创造。

三、探究模型本质，做好创新源泉

对所建数学模型进行研究（如性质的论证、图像的特征等）、运用解决问题的过程，使学生对所建数学模型有一个更为深刻的认识与理解，形成良好的思维习惯与科学研究的精神。

以下通过直线的倾斜角与斜率的教学过程为例进行说明：

（1）创设问题情景：如何感受引入倾斜角与斜率知识的必要性呢？我们可以提出一个很简单的问题：已知点A，再添加一个什么条件就可确定一条直线？

（2）建立数学模型：要解决以上问题，通过所学知识不难得到方法一：知道另外一点，两点就可确定一条直线；通过实际生活感受不难得到方法二：确定直线的走向后，过这一点就可确定一条直线。这样在平面直角坐标系中就可很自然的引入了一个描述直线倾斜程度的数学模型――倾斜角（实际上以上两法也是直线方程两种最基本形式：两点式与点斜式最原始的雏形）。

（3）探究模型本质：通过另一个描述直线倾斜程度的数学模型――坡度与倾斜角的联系很自然的引入又一个描述直线倾斜程度的数学模型――斜率，从而实现了形到数的转变，真正达到了通过坐标（解析法）研究直线倾斜程度的目的。反之，能否通过形的帮助来解决数的问题呢？如已知a，b，m都为正实数，且a>b，求证：b/a

四、利用本质创新，培养创新思想

会当凌绝顶，一览众山小，在教与学设计的过程中，由浅入深，通过一题的多解、多变、多用、多联、类比、改造、延伸、拓展，激发新鲜兴趣，唤起好奇心、求知欲，从一个命题引出一组命题，从一个性质的发现导致一类性质的发现，从解一个问题的方法引出解决一（多）类问题的方法（通法），归纳出一个解法规律在更大范围的活用，从而提高学习效益（率），推动学生思维层层深入、能力更快提高，在知识交汇结合点处纵横贯通，使学生掌握学习的方法，激发创新灵感，培养创新精神和意识，启迪创新思维，使学生成为数学学习的真正主人，更加喜爱数学，深刻领悟数学思想，积极努力应用、解决实际问题。

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