“变量与函数”概念教学案例分析与反思
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摘 要：理解概念是一切数学活动的基础。函数概念的产生是数学历史发展中的里程碑，它使数学的研究对象从常量延伸到了变量。从数学教育的角度来看，研究函数所提供的动态的方法，数形结合的思想拓展了学生的思维，解析几何、微积分、概率等都与函数息息相关。因此，函数概念作为中学数学的核心，是毋庸置疑的。
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）01-247-02
2015年7月22日-8月5日，由兵团教委，教研室组织的中学数学继续教育培训在石河子大学成功举行。本次活动是全疆数学教师的再教育，再深造。其中由兵团教研室杨卫平主任组织的“变量与函数”说课活动引起了大家的关注。作为普通教师的一员，笔者有幸参加了观摩活动，深受启发。下面从以下几个案例提出自己的反思：
案例一：例1、日气温变化图：图18.1.1是某日的气温变化图，根据这张图，你能否得到某个时刻的温度？
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化.每一个时间t，都有一个唯一的气温T与之对应.
例2、高尔夫球的轨迹
我们用l标识高尔夫球飞行的水平举例，用h标识高尔夫球的飞行高度.此时高度h随着水平距离l的变化而变化。
例3、水中的波纹
把一块小石头投入池塘中，就会激起一阵阵的波纹。
面积S随着半径r的变化而变化.每一个半径r都有唯一的面积S与之对应.
反思：考虑实例要尽量贴近学生的生活，此案例对课本上提供的例子作了修改，选择了"一日内的温度变化"、"高尔夫球的运动"、"水中的波纹"这样三个例子.如果后两个例子学生在生活中根本没有经验，学生理解起来会有困难。
案例二：例1、《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高.你知道其中的道理吗？”
例2、我们班中同学A与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？
反思：此案例的设计意图是想从学生的生活入手，但现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关注一类简单的问题.当然，这里的问题是作为研究“背景”呈现，教学时应作“虚化”处理，以突出主要内容。否则，教师不易控制课堂节奏，会在这一环节浪费大量时间，这样的引入是否有必要？
案例三：问题一：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.
1、请同学们根据题意填写下表：
t/时 1 2 3 4 5 t
s/千米
2、在以上这个过程中，变化的量是______。不变化的量是__________。
3、试用含t的式子表示s=__________，t的取值范围是 _________。
这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程.
问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元。怎样用含x的式子表示y ？
1、请同学们根据题意填写下表：
售出票数（张） 早场150 午场206 晚场310 x
收入y （元）
2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.
3、试用含x的式子表示y.__y=_________________x的取值范围是__________.
这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程.
问题三：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为l cm，怎样用含m的式子表示l？
1、请同学们根据题意填写下表：
所挂重物（kg） 1 2 3 4 5 m
受力后的弹簧长度l（cm）
2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.
3、试用含m的式子表示l. l=___________m的取值范围是_____。
这个问题反映了_________随_________的变化过程.
问题四：圆的面积和它的半径之间的关系是什么？要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？30 cm2呢？怎样用含有圆面积s的式子表示圆半径r？ 关系式：________
1、请同学们根据题意填写下表：
面积s（cm2） 10 20 30 s
半径r（cm）
2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.
3、试用含s的式子表示r.__r=_________________s的取值范围是__________
这个问题反映了___随___的变化过程.
问题五：用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形的长度，观察矩形的面积怎样变化.记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。设矩形的长为xm，面积为sm2，怎样用含有x的式子表示s呢？
1、请同学们根据题意填写下表：
长x（m） 1 2 3 4 x
面积s（m2）
2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.
3、试用含x的式子表示s=_______________，x的取值范围是 __________。
这个问题反映了矩形的__随__的变化过程.反思：此案例引用了课本的五个实例。第三个例子，由于不少学生在理解“弹簧问题”时面临列函数关系式的困难，可能冲淡对函数概念的学习，对于繁难的概念，我们更应注重为学生构建学生所熟悉的、简单的数学现实，化繁为简、化抽象为形象.过难、过繁的背景会成为学生学习抽象新概念的拦路虎.
综合以上案例分析：
由于“变量与函数”是概念课，并且比较抽象，学生不容易接受，可以充分联系小学知识进行比较，打消学生的恐惧心理。也可以运用一些史料，如：讲述“函”字的古义，使学生获得对“函数”这一概念的更深刻的理解。学生对概念的理解需要经历一个从模糊到清晰的过程，通过正例与反例的对照，才能准确理解概念的内涵.反例引用的时机、反例的量要恰到好处.过早、过多的反例会干扰学生对概念的准确理解.概念生成的前期提供的各种量的关系中的实例提供的是一个更为广泛的背景，让学生经历从各种关系中抽象出“特殊的单值对应关系”，从而体会产生函数概念的背景.在对函数进行举例时，学生可能会举出错误的对应，比如可能有的学生举例子时忽略了函数的对应关系，也可能出现错误的对应方式，如一对多等等，在这个过程中，教师要及时纠正，加深学生对概念的认识。