将数学建模思想融入大学本科数学基础课程

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摘要： 文章结合教学实践，通过三个具体的实例，探讨了如何在大学本科数学基础课教学中融入数学建模思想。

Abstract： Combined with teaching practice and through three concrete examples， this paper discusses how to apply the idea of mathematical modeling in the teaching of mathematics courses of the bachelor's degree.

关键词： 数学建模思想；数学基础课程；教学案例

Key words： mathematical modeling thought；basic maths courses；teaching case

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）23-0245-02

1 将数学建模思融入数学基础课的必要性

全国大学生数学建模竞赛现在不论是参加的省区、学校的数目，还是参赛的队数、人数，都是目前全国规模最大的课外科技活动。很多不同专业的同学都对数学建模很感兴趣，积极踊跃的报名参加数学建模竞赛。通过数学建模不仅为学生学会应用所学知识解决各专业问题及各种实际问题提供了方法，更主要的是让学生学会用数学的思维、数学的观点、数学的语言描述实际问题，并想办法解决实际问题。但由于数学建模对数学知识的要求较高，除了本科阶段理工科学生所学的微积分、线性代数、概论论与数理统计以外，还要用到最优化理论、图论、微分方程求解及稳定性分析等几乎全部的数学基础知识。导致学生在学习该课程时普遍反映无从下手，不知道如何去学，最后导致对数学建模失去兴趣，彻底失去了学习的动力。所以，如何讲解数学建模课程是当今数学建模教学的一个难题，而将数学建模教学融入大学数学基础课程当中是一个不错的选择。

2 教学案例

以往我们在微积分的教学中只是过分的追求“数学上的完美”，刻板的讲解理论与计算，割裂了微积分与实际应用的联系，使学生学了一大堆定义、定理和公式，也不知道学微积分到底有什么用。把数学建模内容融入微积分教学，在讲解有关内容时与相应的数学模型相结合，使看起来十分枯燥的内容与丰富多彩的实际问题之间架起了一座桥梁。如在讲解方向导数时可用如下问题进行引入。

2.1 蚂蚁逃跑问题 一块长方形的金属板，四个顶点的坐标分别是（1，1），（5，1），（1，3），（5，3），在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热，假设板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比，在（3，2）处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉的地点？

分析：板上任一点（x，y）处的温度

T（x，y）=■

k为比例常数，温度变化最剧烈的方向为梯度所指方向。计算

gradT=-■i-■j，所以

gradT（3，2）=-■i-■j

它的单位矢量■i+■j所指方向即为由热变冷变化最剧烈的方向。

由此引入方向导数，便于学生的理解与吸收，也激发了学生学习的乐趣。

线性代数课程的内容比微积分学的内容少得多，但学生普遍感到该课程更难学，概念更抽象且和以前的数学知识没有联系，从而学起来比较困难。如何激励学生学习线性代数，并能创造性地应用于实际问题是一个亟待研究和解决的问题。将数学建模思想融入线性代数教学中是一个值得倡导的可取方法。

2.2 密码加密问题 战争中一方的机密电报一旦被敌方截获并破解，必将处于不利境地，这就需要对明码电报进行加密。

分析： 通常明码电报是以英文字母代表某数字的方法进行收发。如，以数字1，2，…，26分别作为英文字母

a，b，…，z的代码，若发出内容为“action”的电文，对应明码是1，3，20，9，15，14，可利用一种基于线性变换的方法进行加密。

任选一三阶可逆矩阵，如

A=1 2 30 1 20 0 1，求得A-1=1 -2 10 1 -20 0 1

用矩阵乘法运算对明码加密

A 1 320=674320，A 91514=814314，

接受密码为：67，43，20，81，43，14。接受方再利用矩阵逆运算解（AX=B，X=A-1B），得到明码1，3，20，9，15，14，即

action。

通过此问题的引入，使学生了解了什么是“学以致用”，同时也激发了学生学习线性代数的兴趣。

概率论与数理统计是一门理论性和应用性都很强的学科。以往教学较多地注重对学生的数学推导、计算能力的训练，而忽略了概率统计在实际生活中的应用，结果导致学生虽能较好地掌握概率统计的基础知识，但一涉及实际问题往往不知如何着手分析和解决问题。在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想，有助于学生学习其理论知识，能够培养学生运用数学思想和方法解决实际问题的能力和意识，具有重要的理论和现实意义。如在讲解数学期望时可做如下引入。

2.3 报童购报问题 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回报社。设购进价为b，零售价为a，退回价为c，且a>b>c。报童购进多少报纸获利

最大。

分析：每天报纸的需求量是随机的，需求量为r份的概率为p（r），每天购进n份报纸，收益函数为

L（r）=（a-b）r-（b-c）（n-r）， r

G（n）=■[（a-b）r-（b-c）（n-r）]p（r）+■（a-b）np（r）

问题归结为在p（r）和a，b，c已知时，求n使G（n）最大。

利用微积分中求极值的方法，求得■f（r）dr=■，即每份报纸赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数越多。

3 结论

当今世界经济的竞争是高科技的竞争，是人才综合素质与能力的竞争，数学建模对培养学生的创造性、竞争意识和适应社会应变能力，具有不可低估的作用。所以将数学建模融入到数学基础课中去，既适应知识经济时代对高等学校人才培养的要求，同时也为创新人才的培养开辟一条新途径。同时我们也要注意，在强调将数学建模精神融入到数学基础课的时候，我们不应该采取形而上学的思维方式，简单地在所有的概念或命题之前都机械地装上一个数学建模的实例，把一个完整的数学体系变成处处用不同的数学模型驱动的支离破碎的大杂烩。

参考文献：

[1]母丽华，周永芳.数学建模[M].北京：科学出版社，2011.

[2]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006（1）：9-11.

[3]唐秀娟，刘庆和.在高等数学教学中融入数学建模[J].宁波职业技术学院学报，2012，8（4）：59-61.