三招避求反函数的表达式

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有些同学一遇到有关反函数的问题,就立即想到先求出函数y=f(x)的反函数y=f-1(x),再解决相关问题. 其实,很多反函数问题都不必先求出其反函数的表达式,我们甚至可以用一些方法来避开求反函数的表达式,以达到快速解题的目的.

一、利用定义域与值域的互换性

若函数f(x)的定义域为A,值域为C,则它的反函数f-1(x)的定义域为C,值域为A,即反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域.

例1 (1) (2009年全国卷Ⅱ文科卷)函数y=■(x≤0)的反函数是()

A. y=x2(x≥0)

B. y=-x2(x≥0)

C. y=x2(x≤0)

D. y=-x2(x≤0)

(2) (2009年陕西卷)函数f(x)=■(x≥4)的反函数为()

A. f-1(x)=■x2+2(x≥0)

B. f-1(x)=■x2+2(x≥2)

C. f-1(x)=■x2+4(x≥0)

D. f-1(x)=■x2+4(x≥2)

分析 此类题只要利用互为反函数的定义域和值域互换性即可解决.

解 (1) 由函数y=■(x≤0)的定义域为(-∞,0],值域为[0,+∞),利用互换性知,其反函数的定义域为[0,+∞),排除C、D,而值域为(-∞,0],排除A. 故选B.

(2) 由函数f(x)=■(x≥4)的定义域为[4,+∞),值域为[2,+∞),利用互换性知,其反函数的定义域为[2,+∞),排除A、C,而值域为[4,+∞),排除D. 故选B.

点评 求反函数表达式的常规三步是:反解――互换――表定义域. 对于求反函数的选择题,可直接利用定义域和值域互换性来判断.

二、利用原象与象的唯一互对性

设函数f(x)存在反函数f-1(x),若函数f(x)将定义域A中的元素a映射成值域为C中的元素b,则它的反函数f-1(x)恰好将值域C中的元素b唯一还原成A中的元素a,即f(a)=b?圳f-1(b)=a.

例2 (1) (2009年全国卷Ⅰ文科卷)已知函数f(x)的反函数为g(x)=1+2lgx(x>0), 则f(1)+g(1)=()

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

(2) (2009年重庆文科卷)记f(x)=log■(x+1)的反函数为y=f-1(x), 则方程f-1(x)=8的解x=.

分析 f(a)=b?圳f-1(b)=a,不求原函数的解析式,也同样可解题.

解 ⑴ 由g(1)=1+2lg1=1,又 f(x)与g(x)是互为反函数,则有f(1)=1,则f(1)+g(1)=1+1=2?郾 故选C.

(2) 由于f-1(x)=8,则有x=f(8)=log■(8+1)=2?郾 故填2.

点评 利用f(a)=b?圳f-1(b)=a,不求反函数的表达式,对于求反函数的值特别有效.

三、利用图象的对称性

在同一直角坐标系中,互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称,反之亦然. 若函数f(x)的图象过点M(a,b),则其反函数 f-1(x)的图象必过点M'(b,a),反之亦然.

例3 (1) (2009年四川文科卷)函数y=2x+1(x∈R)的反函数是()

A. y=1+log■x(x>0) B. y=log■(x-1)(x>1)

C. y=-1+log■x(x>0) D. y=log■(x+1)(x>-1)

(2) (2009年湖北理科卷)设a为非零实数,函数y=■(x∈R,且x≠-■)的反函数是()

A. y=■(x∈R,且x≠-■)

B. y=■(x∈R,且x≠-■)

C. y=■(x∈R,且x≠-1)

D. y=■(x∈R,且x≠-1)

(3) (2009年湖北文科卷)函数y=■(x∈R,且x≠-■)的反函数是 ()

A. y=■(x∈R,且x≠■) B. y=■(x∈R,且x≠-■)

C. y=■(x∈R,且x≠1) D. y=■(x∈R,且x≠-1)

分析 可利用f(a)=b?圳f-1(b)=a,不求原函数的解析式,巧用特殊值法来解决.

解 (1) 显然函数y=2x+1>0,则其反函数的定义域为(0,+∞),排除B、D. 由于原函数过点(0,2),则反函数图象过点(2,0),代入选项验证知,选C.

(2) 显然原函数过点(0,1),则反函数过点(1,0),从而排除A、B、C. 故选D.

(3) 显然原函数过点(0,1),则反函数过点(1,0),从而排除A、B、C. 故选D.

点评 利用f(a)=b?圳f-1(b)=a判断函数解析式,体现估算思想(“以点估式”),适合于快速解答选择题.

例4 (2009年上海春招卷)函数y=1+■(-1≤x≤0)的反函数图象是()

分析 此题的常规解法是先求反函数解析式,再画图. 其实,利用互为反函数的对称性,选取特殊值即可解决.

解 显然,点(-■,■)在原函数图象上,则点(■,-■)必在其反函数图象上,而此点在第四象限,结合选项知,选C.

点评 对于求反函数图象的选择题,利用对称性来解决比用常规方法要简单.