三角函数的图象与性质

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三角函数的图象与性质是高考的热点，涉及的内容包括三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和周期性，这些都是三角函数的核心内容. 同学们重点要掌握的有关三角函数的知识有：y=sinx，y=cosx，y=tanx的定义域、值域（最值）、周期性、奇偶性、对称性及单调性；y=Asin（ωx+φ）+k模型（图象变换、性质）及应用.

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（1）求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，可借助三角函数线或三角函数图象来求解.

（2）求解涉及三角函数的值域（最值）的方法：①利用有界性；②转化为Asin（ωx+φ）+k的形式，再根据单调性求解；③运用换元法：令sinx=t（或cosx=t），根据角度的范围来确定t的范围.

（3）求形如Asin（ωx+φ）+k的单调区间、对称中心（轴），通常运用整体的思想，将ωx+φ整体代换.

（4）确定y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）的解析式的步骤：A，k取决于函数的最大（小）值；ω取决于周期；求φ可用特殊点代入法.

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■ 已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）ω>0，φ

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图1

A. 2+■ B. ■

C. ■ D. 2-■

破解思路 根据函数的图象，求得函数的周期，再求出ω；由图象过点■，0，（0，1）确定φ，A的值，求出函数解析式，代入求得f■.

经典答案 由图和已知可得，T=2■-■=■，所以ω=2. 又图象过点■，0，所以Atan■+φ=0，结合φ

■ 若将函数f（x）=2sin■x的图象向左平移1个单位，然后向上平移2个单位后得到的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x=1对称，则函数g（x）=______________.

破解思路 先写出f（x）平移变换后的解析式h（x）=2sin■（x+1）+2，再根据条件得到g（x）=h（2-x）.

经典答案 图象平移变化后得到h（x）=2sin■（x+1）+2的图象，因为h（x）与g（x）的图象关于直线x=1对称，所以g（x）=2sin■（2-x+1）+2=2sin■（3-x）+2=2sin■x+2.

■ 如果已知函数f（x）=3sinωx-■（ω>0）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同，且x∈0，■，那么f（x）的取值范围是_____.

破解思路 由两个函数的图象的对称轴完全相同，可以得到它们的周期相同，得ω=2，再由x∈0，■，求得f（x）的取值范围.

经典答案 由题意知，因为x∈0，■，所以2x-■∈-■，■，所以-■≤sin2x-■≤1，即f（x）的取值范围是-■，3.

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1. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）ω>0，φ

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图2

2. 函数f（x）=acos（ax+θ）（a>0）图象上两相邻的最低点与最高点之间距离的最小值是________.

3. 已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1A>0，ω>0，0

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求f（x）的单调递增区间.