“神奇”的正方体

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正方体是我们生活中最常见的几何体之一，由于它既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有完美的对称美，从而具有“神奇”的作用。

在上人教版《必修2》的新课时，我深有体会：

首先是在讲空间几何体时，讲到求体积面积时，一般做题时不会单独只要你求正方体的体积面积，而是要你求正方体的内切球、与各棱均相切的球、外接球的体积面积，但这些球的体积面积只与半径有关，这时需要学生理解正方体的内切球的球心到各个面的距离正好相等，所以半径正好是棱长的一半；与各棱相切的球的球心到各棱的距离相等，所以它的半径是面对角线的一半；而正方体的外接球的球心到各个顶点的距离都相等，所以它的半径是体对角线的一半。这在解题中正是利用了正方体的对称美。

接着在讲如何确定一个平面时，常会遇到下面的题目：

给定下面四个命题：

（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；

（2）两条直线可以确定一个平面；

（3）若M∈α，M∈β，α∩β=b，则M∈b；

（4）空间中，相交于同一点的三条直线在同一个平面内；并判断其真假。

我们借助如图所示的正方体可判断（1）是一个假命题，例如平面ABCD和平面ABA1B1它们有一条公共的直线，有无数个公共点，但它们不重合；（2）也是一个假命题，例如没有任何一个平面可以同时过直线AB和直线DD1；（3）是一个真命题，例如A点在平面ABCD中也在平面ABB1A1中，同时也在这两个平面的交线AB上；（4）也是一个假命题，例如直线AB和直线BC以及直线BB1这三条直线交于一点，但是它确定的有平面ABB1A1和平面 BCC1B1以及平面ABCD。一个正方体就可以解决这四个命题。

我们在讲空间中直线与直线之间的位置关系时，会遇到如下题目：

判断下列命题是否正确：

（1）如果一条直线与两条直线都垂直，则这两条直线互相垂直；

（2）如果一条直线与两条直线都平行，则这两条直线互相平行；

（3）如果一条直线与两条直线都相交，则这两条直线互相相交；

（4）如果一条直线与两条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行。

我们借助如图所示的正方体可判断（1）是一个假命题，例如直线AB与直线BC与直线AD都垂直，但是直线BC和直线AD是平行的；（2）是一个真命题，这是平行公理。（3）是一个假命题，例如直线AB与直线BC以及直线AD都相交，但是直线BC和直线AD是平行的；（4）是一个假命题，例如直线AB与直线BC以及直线AA1所成的角都相等，但这两条直线是异面直线。

我在讲空间中直线与平面之间的位置关系以及平面与平面之间的位置关系时，会遇到如下题目：已知m，n为异面直线，m■平面α，n■平面β，α∩β=l，则l与m，n中至少一条相交，判断其真假。我们同样可依据上图进行判断。

事实上，作为老师，我会尽一切可能让学生理解我所讲解的内容，而在上这一节内容时，正方体以它独特的魅力以及“神奇”作用，成为老师黑板的常客，同时也成为学生的良师益友。