二面角求法例谈
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如图1，在四棱锥 Ｓ-ABCD 中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD ，E、F分别为AB、SC的中点。设SD＝2DC，求二面角A-EF-D的大小。
解法一（定义法）：如图1，设G是SD的中点，易证四边形AEFG为矩形，取AG的中点H，则由DG＝DA知，DHAG，取EF的中点M，连MH，MD。则由MHEF知，MDEF，从而∠DMH就是所求二面角的平面角。令DC＝2，则RtDHM中，易得tan∠DMH＝[SX(]DH[]MH[SX)]＝ 2,故二面角A-EF-D的大小为arctan 2。
小结:本法紧扣定义，其关键是棱上找一适当的点,分别在两个半平面内做垂直于棱的射线,然后在三角形中求解。
[TS(1][JZ][HT6H]图2[TS)]
解法二（点面距离法）：如图2，易知EA平面AEF，EAEF。设DC＝2，则AD＝2，AE＝1，从而ＳADE＝1。又DE＝5，ＤＦ＝12ＳＣ＝5，ＥＦ＝2[]2,从而ＳDEF＝6。又点F到平面ADE的距离为12SD＝2，设点A到平面DEF的距离为d,则由VF-ADE＝VA-DEF，即13ＳADE×2＝13ＳDEF×d得， d＝63。
设二面角A-EF-D的大小为θ，则sinθ＝dAE＝63,
所以二面角A-EF-D的大小为arcsin63。
[TS(1][JZ][HT6H]图3[TS)]
小结:如图3，二面角α-EF-β中，若点C∈平面α，只要求出点C到平面β的距离CD和点C到棱EF的距离CB，则二面角α-EF-β的正弦值为CDCB。
解法三（面积射影法）: 如图4， 设G，H，M分别是SD，AG，EF的中点，由已知易得平面AEFG平面ADG。又DA=DG,AH=GH得DHAG，所以DH平面AEFG，即点H是点D在平面AEF内的射影，连结EH，FH，则EFH是DEF在平面AEF上的射影。[TS(1][JZ][HT6H]图4[TS)]
设DC＝2，同解法二,可得ＳDEF＝6。ＳEFH＝12Ｓ矩形AEFG＝12AE×AG＝2。设二面角A-EF-D的大小为θ，则cosθ＝SEFH[]SDEF＝33，
即二面角A-EF-D的大小为arccos33。
[TS(1][JZ][HT6H]图5[TS)]
小结：如图5，点D是点A在平面BCD内的射影，设二面角A-BC-D的平面角为α，则cosα＝SDBC[]SABC。
[TS(1][JZ][HT6H]图6[TS)]
解法四（向量法）：如图6，建立空间直角坐标系D-xyz。
设DA＝2，则A（2,0,0）,S(0,0,4)，B（2，2，0），C（0，2，0），由E，F是中点知E（2，1，0）,F（0，1，2）。取E，F的中点M，则M（1，1，1）。所以EA＝(0,-1,0), EF＝(-2,0,2),
MD＝(-1,-1,-1)。
所以EA?EF＝0，MD? EF＝0。
故＜EA，MD＞就是二面角A-EF-D的大小。又cos＜EA，MD＞＝33，
所以二面角A-EF-D的大小为arccos33。
小结: 向量法的关键是分别在二面角的两个半平面内做垂直于棱的且起点在棱上的向量，这两个向量所成角的大小就是该二面角的大小。
解法五(法向量法)：如解法四图建立空间直角坐标系D-xyz。设平面AEF的法向量为[WTHX]n[WTBX]＝（x,y,z,）,则[WTHX]n[WTBX]EA，[WTHX]n[WTBX]EF，又EA＝(0,-1,0), EF＝(-2,0,2),所以x?0+y?(-1)+z?0＝0且x?(-2)+y?0+z?2＝0。令x＝1，则平面AEF的一个法向量为[WTHX]n[WTBX]＝（1，0，1），同理可求得平面DEF的一个法向量为[WTHX]m[WTBX]＝（1，-2，1）。所以cos〈[WTHX]n,m[WTBX]〉＝33， 即二面角A-EF-D的大小为arccos33。
小结:二面角的两个半平面的法向量所成角的大小就是该二面角的平面角或其补角。
以上解法，其基本方法和原理都来自课本例、习题。因此高考复习中，紧扣大纲，回归课本不容忽视。
（作者单位：甘肃省高台县第一中学）