有关极限概念学习方法的思考

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摘要：极限概念及思想方法是学习微积分的重点和难点，本文从发展史、描述性定义、语言定义及理解、思想方法几方面给出了学习指导.

关键词：极限概念；思想方法；数列；函数

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）10-0198-02

极限概念是高等数学体系的基础，极限概念还体现了一些很重要的哲学思想和数学思想.极限概念是学生学习高等数学所面临的第一道关，此时的学生正处于从初等数学向高等数学过渡的阶段.学生的辩证思维还没有建立起来，所以学习时很难掌握极限概念的本质，难以从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变.怎么准确理解和掌握极限概念及其思想方法呢？本文从极限学习的角度出发，有针对性地给出了极限概念学习的指导.

一、了解极限发展的历史，激发兴趣

人类历史上极限概念从萌芽、产生、发展到完善经历了漫长曲折的演变历程.在我国《庄子・天下篇》中记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；刘徽的《九章算术注》中也有记载，这些都是极限思想的雏形.在西方极限的萌芽则体现在芝诺悖论上，这些虽是哲学命题，但却对极限思想的发展产生了至深至远的影响.

17世纪英国的牛顿和法国的莱布尼兹创立了微积分.在建立微积分的过程中必然要涉及极限概念，最初的极限概念是十分含糊不清的，并且在某些关键处常常不能自圆其说，引起18世纪许多人对微积分的攻击.英国哲学家伯克莱嘲笑“无穷小瞬‘o’是消失的量的幽灵”.他还说牛顿的无穷小一会儿是零，一会儿又不是零，简直是“瞪着眼睛说瞎话”.这些攻击引发了第二次数学危机.在此阶段并没有把极限概念作为微积分的基础概念，反而认为无穷小和无穷大是问题的关键，把无穷小作为微积分的基础概念.连大名鼎鼎的牛顿都是用无穷小来定义极限，他称无穷小为瞬“o”.

到19世纪，极限概念才第一次比较完整地被法国数学家柯西在《分析教程》中提出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫所有其他值的极限值.”柯西的定义摆脱了长期以来的几何说明，并引入“lim”来表示极限.但他的定义中还保留着“无限趋近”、“要多小就多小”等描述性词语，并没有达到彻底严密化的程度.

直到德国数学家魏尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，这个定义借助不等式，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系.叙述中只是用到了存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，排除了直观描述性痕迹，给微积分提供了严格的理论基础，这个定义至今仍在使用.

二、从直观上感性认识数列极限的描述性定义

前面提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是一尺的棰，每天取前一天剩下的一半，则永远也取不完.每天取下的长度为：■，■，■，…，■…可以看成是一个无穷数列，通项为x■=■.当项数N越来越大，没有终止，即无限增大时，■越来越无限地变小，并且越来越接近常数0.这样我们就得到了数列极限的描述性定义：给定数列{a■}，如果当项数无限增大时，x■无限接近于一个常数a，那么我们就称为趋于无穷大时数列的极限，记为：■x■=a

三、从描述性定义到“ε-N”语言定义

在描述性定义中，“当项数n无限增大”和“x■无限接近于一个常数a”都是描述性词语，如何把他们用数学的语言即“ε-N”语言表述出来呢？问题的关键是如何用数学的语言表达出两个无限过程，即x■与常数a的无限接近和项数的无限增大.

1.x■无限接近于一个常a.首先解决用什么量来度量x■与a的接近程度.两个事物距离大则远离，距离小则接近，所以x■与a的接近程度用x■与a的距离|x■-a|来描述.其次要解决如何保证x■与a的接近程度是无限接近.两个事物所谓无限接近即他们的距离可以达到任意的小，要想多小都可以.我们采用任给一个正数ε（ε要想多小都可以），只要|x■-a|比ε还小，即|x■-a|0，|x■-a|

2.项数n无限增大.数列的一般项x■与a的接近程度是有前提条件的，并不是要求数列的所有项都满足？坌ε>0，|x■-a|

■x■=a？圳？坌ε>0，？埚正整数N，当n>N时，|x■-a|

四、“ε-N”语言定义的理解

在理解“ε-N”语言定义时，关键是理解ε和n这两个量.

1.ε的理解。定义中的■具有任意性又有确定性，它深刻反映了静与动、不变与变、有限与无限的对立统一.所谓任意性是指在描述x■与a的接近程度时，它可以任意取值，要多小都可以.正是因为ε的任意性才能刻画出x■与a的无限接近.ε既然具有任意性，那又如何去理解它的确定性呢？所谓确定性是相对于求满足条件|x■-a|

2.N的理解.对N的理解要把握住两点，即N的存在性和不唯一性.首先的存在性通过找到一个正整数N来说明，找N的依据是当n>N时，|x■-a|

除了ε和N这两个关键量的理解外，“ε-N”语言定义的理解还可以借助于图形解释：在数轴上标出a、数列的项x■，…x■，x■…和区间（a-ε，a+ε）（见图1）.从图中看到当n>N时，所有的项都在区间（a-ε，a+ε）内，即|x■-a|

五、函数极限概念的“ε-δ”语言定义

数列作为特殊的函数研究其极限时，项数n只有无限增大这一种变化趋势，但函数自变量的变化趋势就复杂得多了.自变量的变化趋势有两大类共6种情况：xx■：xx■■、xx■■；x∞：x+∞、x-∞.其中xx■时，函数极限的描述性定义为：当自变量x无限趋近于常数x■时，函数值f（x）无限趋近于一个常数A.和数列极限一样，我们用来刻画无限趋近于一个常数.剩下的问题是如何来刻画自变量X无限趋近于常数x■？我们用一个正数δ（一般很小）来刻画X与x■的距离，然后要求0

■f（x）=A？圳？坌ε>0，？埚δ>0，当0

这个定义中有两点要特别注意：其一是函数f（x）在x■处有没有定义不做要求，即f（x■）可能存在也可能不存在，f（x■）存在与否并不影响极限.其二是定义中两个“无限趋近于”是有区别的，对x无限趋近于x■而言，要求x≠x■.而f（x）无限趋近于A时，f（x）可以不等于A，也可以等于A，甚至恒等于A.

函数在xx■时的极限定义的图形解释见图2，从图中可直观地看到当自变量X的取值进入区间（x■-δ，x■+δ）（x■除外）时，对应的函数值f（x）介于y=A-ε到y=A+ε的带形区域内，即0

函数极限的其他定义不再一一赘述，大家只要掌握了实质即可，实质是：自变量有一个无限变化趋势，相应的函数值无限趋近于一个常数.函数、数列的极限定义形式可以统一为？坌ε>0，当自变量变化达到某个程度时|f（x）-A|

六、掌握极限的思想方法

极限的思想方法是近代数学的一种重要的思想，是高等数学区别于初等数学的标志之一.用极限的思想方法分析问题、解决问题时，先构造一个与未知量有关的变量，确认这个变量通过无限过程的结果就是所求的未知量，最后用极限计算求出未知量.

极限概念的学习是一个不断持续螺旋上升的过程.由于知识的局限性，往往很难把概念一次性地理解透彻，必须在学习一个阶段之后，借助于新的知识的学习反过来进一步加强对极限概念的理解，进而真正掌握并运用它所包含的极限思想方法去分析问题、解决问题.

参考文献：

[1]王晓硕.极限概念发展的几个历史阶段[J].高等数学研究，2001，（03）：40-43.