实数及其运算常见错例剖析

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一、概念性质理解不透

例1 求下列各式的值:

± ,.

错解: ± =9,=±8.

错因分析: 本题主要错在没有理解符号所表示的意义,当a是非负数时,表示a的算术平方根,±表示a的平方根,-表示a的算术平方根的相反数.根据分析可以知道,±表示的是81的平方根,不是81的算术平方根; 表示的是64的算术平方根,不是64的平方根.

正解: ± =±9,=8.

点评:开方是一种运算,就如同我们前面学习的加减乘除一样,同时在解题时要注意平方根、立方根的性质.

二、主观臆断

例2 下列各组数中互为相反数的是().

A.5和

B.-|-|和-(-)

C. -5和

D.-5和

错解:A.

错因分析:本题错在没有经过计算,主观臆断导致出错.由相反数的概念可知,互为相反数的两数和为0.应先化简,去掉绝对值符号或根号,然后根据相反数的概念逐一判断,故选B.

正解:B.

点拨:在解题时要经过仔细的化简和运算,不能主观臆断.

三、不能理解题意

例3 求的平方根________ .

错解:的平方根是±8.

错因分析:本题错在未理解题意,表示64 的立方根,即=4,4的平方根是±2,所以的平方根是±2.

正解:求的平方根是±2.

点拨:明确开平方与开立方是一种运算是解决此类型题的关键.

四、估算出错

例4通过估算,比较与的大小.

错解:因为2.

错因分析:本题主要错在没有正确掌握估算的方法,把的取值范围估计错了,虽然 是在2与3之间的数,但

正解:因为2

点拨:估算的尺度缩放要有限度,不能随意随意估算.

五、乱造运算法则

例5 计算

错解:原式=+ =7+24=31.

错因分析:本题错用了算术平方根的运算,误认为把被开方数的每个数开方后再相加就可以了,解决这类问题正确的处理方法是先计算被开方数再开方.

正解:原式===25.

点拨:计算的每一步都要做到有根有据,切忌乱造计算法则.

六、忽视隐含条件

例6(1-)2 的算术平方根是_________.

错解:(1-)2 的算术平方根是1-.

错因分析:本题错误的原因是没有考虑到1-

正解:(1-)2 的算术平方根为1-=-1.

点拨:只有非负数才有算术平方根,在解题时一定要牢记.

七、考虑问题不周

例7在数轴上一个点与原点的距离是,这个点所表示的数是________ .

错解:.

错因分析:本题错在只考虑了在原点右边的情况,实际上在数轴上与原点的距离相等的点有两个,即在左右边各有一个,所以该点表示数应是±.

正解:± .

点拨:求在数轴上任一点离另一点的距离时,都要考虑在该点的左右两种情况.

例8 已知如图1, C、B、A3点分别对应着实数x,1,,且C和B关于点A对称,求x的值.

图 1

错解:由C和B关于点A对称得,x=-.

错因分析:本题错在误认为点A是原点,若 点A是原点,上面的答案是正确的,但点A不是原点,结合图形可以发现AB=AC=-1,点C在点A左边,则 点C表示的数要比点A表示的数小 .

正解:因为C和B关于点A, 3点分别对应着实数x,1,,则AB=AC=-1, 点C在点A左边,则点C表示的数要比点A表示的数小-1,即x=1-(-1)=2-.

点拨:数轴上两点间的距离,一般可以直接用右边的点表示的数减去左边的点表示数即可.