基于分数阶变分的图像泊松去噪模型

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0引言

在图像的生成和传输中大量噪声的加入会严重影响图像的视觉效果。传统的去噪算法存在边缘保持性差、易产生阶梯效应等缺点。近年来，基于变分[1-2]、插值[3]、小波[4]和偏微分方程的去噪方法以及某几种方法相结合的平滑算法广泛应用于图像去噪中[5]，其中基于变分理论的全变分模型（Total Variation，TV）去噪方法在图像去噪领域备受关注[1-2，6]。事实上，TV模型基于有界全变分函数空间，利用该函数空间的不连续性对应图像中物体的边缘的特性，该类模型在去除噪声的同时能较好地保持图像边缘。

然而，在对噪声污染图像平滑过程中保留图像边缘和抑制噪声始终是一对矛盾。标准的TV模型在处理纹理图像时易丢失纹理细节信息，且易出现“阶梯”效应。对此人们提出了很多改进的TV模型，如Gillboa等[7]引入了一个空间变换项，以保护去噪图像中的纹理部分；黎芳等[8]提出将TV模型和四阶偏微分模型相结合用于去噪以减少阶梯效应，但运算量较大、耗时较长；孙玉宝等[9]引进具有稀疏性正则项的全变分模型，对被泊松噪声（Poisson Noise）污染的图像具有良好的复原效果，保持了较清晰的图像边缘，但容易丢失纹理细节信息，有时候甚至会出现“阶梯效应”。文献[10]对TV模型中的忠诚项进行了改进，提出的新模型也具有良好的去噪效果，明显缓解了图像模糊，大大地改善了去噪图像的视觉效果。

在光量子计数成像系统中，如CCD（Chargecoupled Device）固态光电检测器阵列、天文成像、计算X射线成像（Computed Radiography， CR）、荧光共焦显微成像等，获取的图像往往出现泊松噪声[9]。诸多算法如维纳滤波、小波阈值收缩均可应用于去除泊松噪声[11-12]。文献[9]在BayesianMAP框架下，采用负log泊松似然函数作为保真项，应用图像在冗余字典下稀疏性约束作为正则项，建立了泊松噪声图像去噪算法。该算法无需进行VS 变换（Variance Stabilization Transform），虽然它能够直接处理泊松噪声，但处理泊松与高斯的复合噪声并不理想。

近年来，分数阶微分被从数学领域引人到图像处理领域，成为一个新兴的图像处理的发展方向，得到了学者们的广泛关注[13]。从数学性质上讲，对纹理结构的本身特性而言，纹理是具有“弱导数（即分数阶导数）特性的信息，整数阶微分算子并不适合于处理这类具有弱导数的信息。目前基于变分偏向分方程（Partial Differential Equation， PDE）的图像处理方法，绝大多数都还是基于整数阶导数建立起来的，近年来，利用分数阶导数的图像处理方法逐渐在图像处理领域中引起了重视。

本文从分数阶导数出发，提出了一种新的基于分数阶变分的图像泊松去噪模型。模拟实验表明本模型具有良好的去噪效果，而且适合于处理具有“弱导数”特性的信息，能很好地保护图像的边缘细节特征。