用数学的观点看博弈与合作

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现在网上常爆出在科研活动中因合作破裂而互相指责剽窃的事件。一般来说，一个巴掌拍不响，事情闹大，当事双方肯定或多或少都有责任。但在公说公有理、婆说婆有理的一地乱鸡毛的大讨论中，仔细分析起来，矛盾出在讨论的基本空间不统一，每个人都在用对自己有利的空间测度。如此下去，讨论不会有结果。 在这里我们不去讨论具体事件中的谁是谁非，而是想从数学的角度谈合作与竞争。

我们要用科学的方法讨论问题，首先要确定讨论的基本空间。在确定的基本空间里，测度（measure）即度量方式是确定的。在此结构下，我们才可以进行比较、演绎和推导等运算，才可以下结论（该结论也只在这个空间里有效）。当然有些公理可能对一般空间都适用，这就是我们所说的真理问题，大是大非问题。对于其他问题，已有的测度可能不足以度量，就只能归于用“模糊数学”的处理方式。

现在比较纠结的是，我们处在两个空间的交汇处：中国传统文化的空间和西方法制空间。所以要讨论清楚任何事件前，首先要拎清楚，你在哪个空间里讨论。第一：中国传统文化空间。这个空间的结构是君君臣臣、父父子子的自上而下的结构，由道德规范人的行为。这种结构在一定程度上稳定性相当高，但会抑制个人发展从而影响社会进步。例如这种结构里，有师道尊严。在一个门派里，老师有绝对的权威，学生只能尊重老师，不能质疑也不能反抗，更不能置师于不义。如有弟子大逆不道，不用等老师出面，师兄就会出手清理门户，将其永远逐出师门，让其一辈子背负“欺师灭祖”的骂名。第二，西方法制空间。这个空间的结构是以自我为中心自下而上的结构，由法律规范人的行为。在这个结构里，人是平等的，个人的权利得到充分的尊重和保障。但大家都知道，个人权利的伸张必然会影响到其他人的权利，而其他人的权利也在尊重和保障的范畴内，这样必然会矛盾不断，社会要为此付出巨大代价。这种情态就转变成一种“博弈”的方式。“博弈”有两种目的，一种是你死我活，另一种是共存。我们这里讨论的是第二种模式，西方的解决方案是法律。法律固然能解决一部分问题，但是，如果社会情态是一条实轴，法律只是这条实轴上的几个有限点。即使在法律完善的社会里，有法可依的点最多尽可能接近有理数，法律可以逼近却不能取代所有事情，其间巨大的空白仍然要指望人情去填补。所以大量的争端事件是通过法庭开庭、律师辩论、陪审团投票的方式解决。律师们常用的取胜武器是最接近的法律条款、已判决的案例和人情事故。对于鸡毛蒜皮的民事小案件，法庭的第一动作将会是调停，希望辩护双方各让一步，达成庭外和解。当然规避矛盾的补救措施是契约。也就是事先划定权利范围，并立下字据。例如我曾经在国外的一家公司工作。进公司的第一件事就是签合同，申明我在该公司工作期间的所有知识产权（包括我做梦时想到的idea）都归公司所有，作为回报，公司发我工资和小范围浮动的奖金（当然公司也会担风险，因为我未来的工作表现未知）。所以那几年，我一篇文章也没发表，至于公司拿着我的发明、创新、理论、设计、程序、图表等等去赚了多少钱或者赔了多少钱我也不会去过问――因为有契约。西方法制空间的这种结构自然比中国传统文化的结构要复杂得多，那么这种结构会不会造成社会动荡？事实证明，在中国的传统社会结构下，如果上层欺压下层太厉害，超过一个阈值，就可能产生天翻地覆的革命，引起巨大的社会动荡。而西方社会尽管小波动不断，却相对稳定。

有一位智者叫约翰・纳什（John ForbesNash， Jr.），他用严密的数学语言和简明的文字准确地定义了纳什均衡（Nash Equilibrium，也称作非合作赛局平衡）这个概念，并在包含“混合策略（mixed strategies）”的应用下，用数学的不动点定理证明了纳什均衡在有限博弈中的普遍存在性，并以此获得了诺贝尔奖。纳什理论的社会贡献在于，在非合作的有限博弈中，从个体利益最大化出发，可以达到纳什均衡。这从某方面解释了西方从个体利益出发达到均衡后，西方社会出现的相对稳定性。这不是说个人利益可以无限扩张，而是说最优的状态是要考虑别人的利益，也就是说考虑别人利益是有利于个人利益的，有时出让点个人利益对自己更有好处。这也就解释了为什么在强调个人利益的西方世界，市民的公德心反而更高。有意思的是，这种观点和中国传统文化“吃亏是福”的中庸之道不谋而合。只是西方的观点更为理性。

我年轻时曾读到一篇让我回味至今的微型小说，大意是父子两人去做客，主人正好有事，就让他们在客厅等一下。就在这当口，客厅的一只水瓶忽然自爆了。主人听到爆破声跑过来问怎么啦。父亲马上说，对不起，我不小心碰了水瓶，并立即掏钱赔偿。主人不收，推辞一番后收了下来。儿子不解（那时水瓶还比较贵重），事后问父亲，水瓶不是你碰的，你为什么要担下来，还要赔？父亲说，水瓶自爆太不寻常。如果我说不是我碰的，主人虽然不会说什么但他不会相信，相反会觉得我在逃避责任。不如我大大方方承认更自然些，钱是小事，有担当更重要！这个故事让我们看到一个睿智的通情练达的人处理问题的方式。他吃亏了吗？当然吃亏了，但他在这次突发事件中快速地以最小的代价保存了更宝贵的东西。个体的最优选择不是一味强索自己的利益。

简单就“剽窃”这件事来说，我们应该注意到，中西方都不接纳这件事，但立足点是不同的。中国的传统文化不接纳“剽窃”是因为这是违反道德的，而西方文化不接纳它是因为纯粹的个人利益剥夺了别人利益。所以我们在讨论一件事之前，应该想想你要用什么标准？不能两头都想占好，既要主张个人权利，又要高举道德大旗。再扪心自问你的标准是不是只对人不对己？西方有句谚语"People who live in the glassroom shouldn't throw stones"，意思是“自己有弱点就不要说别人的坏处。”所以要律人应该首先要律己。这一点在东西方文化中是共通的。双重标准在两种文化中都是不可接受的。在现今道德缺失，法律不全的环境里，强调自我规范更有意义。

回过头来看我们中国的现实空间：开始清算中国传统文化中的糟粕，而则摧毁了中国传统文化的基本结构。我们现在所处的空间支离破碎，传统的结构被打破，破后没有立好，好东西又没有传承下来。我们既没有建立像西方那样严密的法律框架（西方的那些法条不一定适合中国国情，不能拿来就用），也没有事实契约的支撑，从而在很多事上也就没有一个可以规范的准则。大多数情况下人们就是在两种空间里跳来跳去。至于我们这个现实空间的测度，每个人都有自己的标准，这才引起了混乱。在这种状况下，社会出现了许多令人发指的为点蝇头小利而坑人不止的行为也就不足为奇了。

很多争端因合作而起，这是不是不符合纳什的非合作赛局平衡的理论？不错，虽然有些事件的起因是合作，但事件的爆发却是因为后来的不合作。如果充分沟通，很多事件就不会发生。为了使合作健康发展，那么如何分配合作利益就成了一个重要的问题。也就是说如何划分贡献度，衍生到科研活动中来，就是的署名权和署名顺序问题。

这个贡献度的讨论其实很难。对一个项目的贡献度，就是当事人自己也难理清。今天的科学活动，单打独斗是很难出成果的，个人再厉害也很难对抗军团作战。所以明智的选择是加入军团，参加集体战斗，在战斗胜利后，分一杯战斗成果的羹，并且通过实战锻炼自己，从战斗菜鸟成长为战斗指挥或战斗英雄。但中国人“窝里斗”的能力比较强，自然就削弱了实力。问题来了，战斗胜利后，如何分羹？从个人的角度，特别是菜鸟的角度，觉得自己冲锋陷阵，英勇顽强，比那耍耍嘴皮、摇摇羽毛扇的战斗指挥贡献要大。那战斗指挥不过是多打过几次仗而已，在此次战役中，没我跑得靠前，没我杀敌多，当然没有我的贡献大。长官当然也有他们自己的想法。如果就为这个分羹争吵不休，那么下面的仗就别打了，这个军团必将四分五裂，没有凝聚力，更没有战斗力，以后肯定一路败北，最终谁也没有羹喝。所以如何合理地分羹是很重要的。

对于这个分羹，东西方的处理方式都有其强烈的文化特征。东方人在长幼有序的结构下，由最高指挥掌勺说了算，“一切缴获要归公”。给你多少没商量，不服气是不是？等你媳妇熬成婆，也做到长官，你就有了掌勺权，到时你爱给自己分多少就分多少，但现在请闭嘴。乖巧的菜鸟不仅闭嘴，还会讨好长官，以求多分一点羹。当然长官们也知道，士气要鼓舞，一碗水要端平，羹还是要尽量分匀，不能都分给自己，对那些杀敌多的还是要多分点。可这里难免带有个人好恶的色彩，会有不少偏差。这种方式的好处是效率非常高，坏处当然就是不一定公平。那么西方人是怎么处理的呢？西方文化讲究平等。可分羹总有一个先后次序，如果大家一窝蜂上去抢，恐怕更不公平，矛盾更大。怎么办？那就按人数等分，再按姓氏的字母排列，一个个来，每人一勺。姓氏字母靠后的不要怨分到手的羹已凉，要怨就怨当时投胎没投对姓。

西方人喜欢较真，说绝对的公平就是不公平。为什么不拿数学算一算？参加这次战斗的人，每个人到底应该分多少羹？换句话说就是如何计算参加战斗的人对这场战斗胜利的贡献度。这里面有两个层次，一个层次是排序，另一个层次是量化贡献度。显然，第二个层次比第一个层次更难，但如果第二个层次搞清楚了，第一个层次自然不在话下。但大多数情况下第二个层次根本无法弄清，那么退而求其次，有方法弄清楚第一个层次也不错。对于第一个层次，有一个比较流行的方法叫层次分析法。这里我们主要谈谈如何把握第二个层次。

说到这里，就要提另一位也是获得了诺贝尔奖的智者，他叫沙普利（L. S. Shapley ）。他在1953年从最容易计算的经济活动出发，考虑一类被称为n人合作对策的问题。他通过几个公理，建立了一个严格的数学方法，被称为Shapley值方法。这个方法可以准确地计算出每个参与者对他们参与项目的贡献度。他的思想是，要考虑某人或某个组对项目的贡献度，就把这个人或组从项目中拿掉，看看项目受到什么样的损害。当然损害越大，被拿掉的人或组贡献就越大。不仅如此，如果项目的成果在各种情况下都有数据，用Shapley值方法就可以严格地计算出每个人对该项目的贡献度，而且这个解是唯一的！也就是说，在一定条件下，每个人的贡献是可以严格地计算出来。

在我与他人合写的教材《数学建模讲义》中，有一个很好的案例：

“在社会或经济活动中，两个或多个实体， 例如个人、公司、国家等，相互合作结成联盟或者利益集团，通常比他们单独活动时能获得更大的利益，产生一加一大于二的效果。然而，这种合作能够达成或者持续下去的前提是，合作各方能够在合作的联盟中得到他应有的那份利益。那么，如何才能做到合理地分配合作各方获得的利益呢？我们先来看一个简单例子：

甲乙丙三人合作经商。倘若甲乙合作可获利7万元，甲丙合作可获利5万元，乙丙合作可获利4万元，三人合作则获利10万元。如果每人单干各获利1万元。问三人合作时如何分配获利？

用Shapley值方法由下表可求得甲应得的获利为4万元。 同理，可求得乙和丙的获利分别为3.5万元和2.5万元。”

如此看来，Shapley值确实是个好东西。为什么不拿来广泛应用呢？因为应用Shapley值方法的条件太苛刻了，它要求一套完整的数据，就像上面的例题，不仅要三人合作的获利，还要两两合作的获利，也不能少了单干的获利。在大多数实践的情况下，这些数据很难获得，因而严格的计算在很多情况下都落了空。但这不妨碍我们用他的思想方法获得一些特殊的和排序的结果，做些定性分析。例如：

1.南郭先生的贡献度是0，因为去掉他一点也不妨碍整体乐队的演奏。

2.项目指挥很重要，他确定战役如何攻坚，他不一定身先士卒冲锋陷阵，但他会分析大势，了解战况，熟悉手下的能耐，可以合理排兵部将。所以敌方要取胜，常用斩首行动，一旦被砍头，战局就是一盘散沙，被砍头方溃不成军，迅速瓦解落败。所以一般项目头领会排在最前面，当然我这里指的是真正的指挥者而不是单纯因为职务而挂名的人。

3.点子（idea）至关重要，因为去掉idea，整体项目将不复存在，所以提项目idea的人应该排在具体操作者前面。

4.操作人的工作中，可取代与不可取代有本质的区别。也就是说，去掉某人项目只是受影响但仍然可以由替换人完成，抑或去掉该人后，项目有的部分根本就完成不了，两者是有本质差别的。前者最多延缓进程，而后者有可能导致项目不能完成。所以如果有甲乙两个人操作，甲的工作可由别人取代，而乙的工作别人不可取代或很难取代，那么乙应该排在甲前面。这就是为什么一个项目的完成，秘书们也很辛苦，他们却不能署名。

5.工作量应该计算有效工作量。甲乙两个人，甲虽然干得工作不多，但对结果实质贡献较多，乙辛辛苦苦，没日没夜，但都做的是无用功，虽然有点贡献但效果不如甲，那乙就不要哭诉没有功劳也有苦劳，乙是应该排在甲之后。当然如果乙干的是尝试性的工作，确定他走过的路虽然没有走通，但肯定是走不通的路，避免了项目组的其他人走弯路，也应该认可乙的工作是对结果有实质性的贡献。

用这个方法也可以解决一些原来困惑的问题，如战斗中一个人掩护了另一个人杀了几个敌人，两个人的功劳就应该是差不多的，因为去掉了谁这件事都做不成。当然也有些情形是这个方法解决不了。例如，两个人一起讨论问题，一个人有心无心的一句话启发了另一个人，产生了至关重要的idea。那么这个idea算谁的？一般来说，这个idea算提出idea的人的。这样启发他的人就没有一点功劳，除非恩主知恩，他会感谢那个启发他的人。还有纠错的人、提供资料数据的人、解决关键材料的人等等，实际情况要复杂得多。所以尽管Shapley值方法精确，仍然有一大块模糊地带。这个模糊地带的解决又回到了东西方两个方式，东方方式：项目的头说了算；西方方式：按姓氏字母顺序。

最后我们用这个方法来分析一篇大学毕业论文中的贡献度的问题：

1. 导师角色至关重要，一般情况下导师是项目负责人也是提出idea的人，所以在这种情况下，尽管大学毕业论文署的是学生的名字，论贡献度的排名，很简单，导师在前，学生在后。

2.学生毕业论文中做出了一定的工作，应该被承认，导师是不能独享的。

3.关于论文中的图。图分为几种，科学界用以判断剽窃的图一般是指不可重制的图，如照片，即便是同一个作者也不大可能拍出两张一模一样的照片来。所以如果一张照片出现在两个作者名下，基本可以判定至少有一个作者是剽窃的。在实验类的科学论文中，这种情况很多。还有一类是很难重制的，如计算机计算图。这类图背后往往是一个程序，不同程序跑出来的图会有差别，但不排除有可能跑出同一个图的情况。碰到这种情况，大家把程序拿出来晒晒，看看源码，再跑一跑就清楚了，两个人编的程序不大可能一模一样，除非程序很短。如果是一般的示意图，稍有计算机技能的人都可以重制。你不能说因为你画了个圆，以后别人画圆都是抄你的。事实上很多论文的示意图是秘书画的，并且如果它们不符合出版要求，出版社的美工会在文章出版前重制，当然那些秘书美工的名字不会出现在文章中。其实理论类的文章，看看有没有剽窃，主要是看idea，不是看文字，也不是看示意图。所以从这个角度上来讲，示意图是对项目结果贡献的一部分，但因为具有可取代性，所以分量不是很重。

4.将一篇手稿整理出能发表的文章也是有贡献度的。我就有过一篇论文只用了几个月写成却磨了五年才发表的经历。事实上，发文的精力常常是写文的好几倍。

5.署名不能乱来。如果是国际刊物，我们就用国际通用的规范。例如如果两篇内容一样的文章，一篇非正式，一篇正式，但署名不一样，人们可以用Shapley的方法推定，那没有同时出现在两篇文章中的作者的贡献度为0。 除非在非正式论文正式发表时，没有署名的作者亲笔写信申明放弃署名权。乱署名现象在中国比较普遍，很多项目主持人认为他们有管理署名的绝对权力。尽管在中国传统文化中行使中国式的家长作风情有可原，但这无论对自己或对被署名者都是不好的。而且如果老师这么做，随意送给学生一个署名，会给学生一个非常不好的范例，使学生以为文章的署名可以轻松获得，也可以和老师讨价还价。

6.如果有争执，当然看有关部门的判定。但社会形态是复杂的，不要指望绝对的公平。如果遇到了不公，我们应该采取什么态度？ 如果处理不当就是个双输的局面。即使从自己的利益出发，强索求补也并不一定是最优的选择。随便采取网络暴力很可能伤人伤己，代价巨大：首先，浪费了自己很多时间；其次，彻底完结与原合作者的情谊；最后，给大众留下一个爱惹麻烦爱闹事又斤斤计较的印象，以致于以后别人不敢和你合作。我还是认为做事之前一定要替对方考虑，如果对手还不是“十恶不赦”，就应该首先积极沟通。如果沟通困难，还可以找中间人，尽量在小范围里解决这个问题。即便对方有错，也给对方一个改错的机会，给一个台阶下。特别是遇到说不清的事，应及早抽身止损，纠缠下去只会越输越多。中国古代的智慧在这里是适用的：退一步，海阔天空。

其实我们在生活中经常会遇到不公。年轻的学生，生活比较顺利，还没有碰到太多的坎坷，而且大多数时候别人是让着他的。但学生也应该做好思想准备，人在江湖，不是在家，将来遇到不公是常态。碰上了怎么办。我的主张是，不要仅仅看过去，不要一觉得委屈就一定要讨个说法，事实上这个说法是你的看法，对方不一定这么看。而且你很可能为这个所谓说法要付出的代价太大，不值。而较好的处理方式，是应该站在现在的这个节点，看怎样处理对将来最有利。要干大事的人就是善于和别人合作的人，同时也是吃得起亏甚至愿意吃亏的人。现在吃点亏，何不当作一次历练，何不当作买了教训。公不公道是让别人去看的，大众心里自然有数。等你吃尽苦头，受过委屈，历经艰险，你可能就强大了。