《百分数应用题复习》中认知缺陷的诊断分析与策略研究

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【摘要】学生解答一道题目，引起笔者对“百分数应用题错误”的审视。分数应用题是小学阶段应用题中的重点内容之一，百分数实际问题也是小学数学的一个难点。笔者根据对学生在解答分数应用题时常犯的错误归纳总结，通过关注信息表征、重构认知结构、融入情知因素三方面入手，帮助学生不断提高分析问题和解决问题的能力。

【关键词】认知偏失 信息表征 夯实基础 提升思维

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）16-0093-02

缘起：错例带来的困惑

较复杂的分数百分数应用题复习是小学数学总复习教学的重难点之一，对于这块内容的复习，我们通过对三类分数百分数应用题结构的梳理、比较、分析，学生通过复习，进一步明确了它们的结构特点与数量关系后，进行了一系列的练习与拓展。自我感觉一切都在顺理成章之中，不料在练习反馈中，一题在我看来很普通的题目错误率竟然高达70%以上。

某机关精简后有工作人员143人，比原有工作人员少57人。少了百分之几？

鉴于此，我对错误的同学进行了统计，其中有9%的同学列式为57÷143，列式为（143-57）÷143约占21%，列式为57÷（143-57）竟达40%。

面对这样的困境，我陷入了沉思：问题究竟出在什么地方呢？

把脉：范式背后的偏失

为寻求问题的本源，查漏补缺，我对这一类较复杂的“求一个数比另一个数多或少百分之几”的应用题又出了类似的几题让学生们练习：

①5是4的百分之几？4是5的百分之几？5比4多百分之几？4比5少百分之几？

②六一班有男生23人，女生比男生少1人。女生是男生的百分之几？

③一个工程队原来每天修路2.4千米，现在每天修路3千米。增加了百分之几？

④一种皮鞋现价每双50元，比原价贵10元。提价了百分之几？

练习后发现，学生对第一题几乎没有问题，由此说明学生对此类题目的数量关系是清楚的。而其它三题的答题情况均不理想，其中以第四题最为突出，而此题与上面提到的那题基本类似。发现其他错题也与此题有着本质的类似，通过仔细的分析以及与学生的访谈、辅导，发现主要有以下几方面的偏失：

偏失之一：“比多比少”的概念缺陷引发认知断层

有将近40%的学生列式为57÷（143-57），分析其中的原因，发现关键在于学生原有知识出现了断层，即二年级所学习的比多比少的概念至今还存在普遍的问题。从上面学生的答题情况看，发现对于顺叙题的解答还算比较顺利、正确的。一旦进入逆叙题，学生的错误率就突然增加，当两类练习题放在一起时，学生对比多比少的表征出现了明显的混乱现象。以上现象反映了学生在经历比多比少的概念学习时，表象操作方面缺乏必要的感悟和练习，造成学生直接进入符号操作时引起认知上的障碍，进而影响到后续的学习。

偏失之二：陌生信息的表征不清引发认知困难

从上面一组的对比练习中还发现，学生对知识表征的清晰度往往与他对信息的熟悉程度有关，即学生的陈述性知识表征不良也在很大程度上引起认知困难。对熟悉的、能联系学生已有知识和生活经验的问题情景学生能马上进行信息的处理。但对于某一陌生知识的表征，学生表现出由于表征不清而导致认知上的困难。上面一组练习题中，学生对于情境熟悉的几题反应快速，但对于情境离学生生活比较远的几题，对学生的抽象性思维要求较高，结果往往使学生在学习中陷入死角而不能自拔。

偏失之三：认知结构的不够完善引发抽象概括度不高

学生认知结构的不够完善往往表现出对知识的抽象概括程度不高。例如就上面这类题而言，事实上涉及对两个数量的双重比较，而“比较”这一个概念就小学范围的知识来讲一般有两种情况，一是两数之差，一是两数之商。无论从课堂还是课外的交谈中，学生似乎都不甚了解“比多比少”就是求“两个数的差”，换句话说，在学生的认知结构中“差”作为“比多比少”的上位知识并没有被学生体验到，对于“商”的比较也有着同样的情况。在学生初次学习比多比少时因为没有深刻的体验，造成了学生在学习百分数时存在原有知识点缺乏的问题。

偏失之四：程序性知识的缺乏引发解题达不到自动化

学生似乎明明懂得怎样解题，可很多时候都要教师的提问下才能解答出来呢？为什么学生单独面对此类题目时就是不会解答呢？仔细想来，除了学生有一定的思维惰性外，其实更为本质的是老师的提问等于为他提供了思考的路线，换句话来说，学生不知道从哪里开始，又从哪里结束。如果学生具有在面对问题情景时就知道怎么办的程序性知识的话，那么学生就会感到成功解决之后的喜悦，一旦形成良性的反应，学生的思考就会进入一种极佳的状态。

偏失之五：错误认知的“先入为主”引发认知表征偏差

从这些错例中很明显可以看出，在学生头脑中占优势兴奋的知识点以“先入为主”的方式存在，事实上学生也根本没有意识到这一点。很明显，学生出现上述情况就是因为学生第一次在学习这部分知识时所形成的一种产生式知识结构是看到降低肯定是减法，而这又正好符合学生大部分的生活经验，在头脑中占有优势兴奋地位。虽然教师在课堂中进行反复的强调，但由于在后续的学习中没有得到有效的顺应，没能进行知识的重建，因此当学生以后碰到类似的问题时，还是会按照原有的兴奋程度高的解题策略进行解题。

策略：认知网线的补救

根据诊断、分析，我们找到了学生出现错误的原因，又根据学生的实际情况，从关注学生的认知状态入手，主要采取了以下几种辅导补救策略：

一、关注信息表征――注重方法

（一）读题训练

应用题实际上是用精炼的语言文字把现实生活中的数学问题阐述出来，然后让学生运用所学的数学知识去解决这些问题的学习形式。既然是通过语言文字来呈现问题，那么学生个人的阅读能力将直接影响到学生对题目的理解程度，由此可见数学阅读对于解决问题具有重要作用。我曾做过好几次试验，学生产生错误后，教师根本没有作指导，只是让学生一遍又一遍地读题，边读边想，如甲比乙多几，如何求甲或乙；要求学生把诸如降低了百分之几的缩略语完整地表达出来。每次读好之后，教师紧跟着追问一句：“你读出来么？你读懂了吗？”。结果有70%的学生都能将题目正确解答出来。因此解决这类问题最基本的策略是多读几遍，指导学生通过朗读达成理解，就是为了让问题情景在大脑的短时记忆中更稳定、更清晰、更熟练一些，这样就更容易实现解决问题的顿悟。

（二）简化信息

心理学表明：一个人的短时记忆空间是有限的。作为教师应该有意识地引导学生对信息进行有效的简约化，培养学生由外化进入简约的内化处理能力。这时教师可以帮助学生利用外部工具来解决问题，如把需要加工的信息内容写在纸上，采用表征简化、示意图、代表性符号等有效的策略帮助学生减轻记忆的负担，使得短时记忆的空间得到充分地利用。

例如：我国可吃的植物有2000种（以上），相当于欧洲和美洲总数的200%等一些长句。经常发现学生读完题时，记住了后面的又忘了前面，因此我训练学生将表现数量关系的句子简缩成：我国是欧美的200%。

这样的训练使得学生的短时记忆得到充分的利用，信息表征也显得清晰稳定，可以帮助学生把问题中简化了的成份补述出来，或把内隐的意思表述出来，成为外显的条件，使之更具体、明确，为学生正确分析数量关系打下坚实的基础，有效提高了学生的学习能力。

二、重构认知过程――夯实基础

上述分析时曾经提到学生以前一直使用的（即使是错误的）解题方法具有先入为主的优势，因为它是长期以来养成的一种思维习惯。要彻底纠正学生的这个有害思维习惯，就必须把后来获得的这个新的解题思维方法变成在优势兴奋水平上高于原来思维的、更容易被优先激活的知识，或者更确切地说就是帮助学生形成良好的认知结构。

（一）依据年龄特点，建立形象化的认知图式

教师要引导学生借助于生活经验和数学知识之间相似性大的特点，将新知纳入到原有的知识结构中去，使学生的知识得以同化和顺应。例如在此类题的辅导中，有几个学生不管怎样认真读题，总是不能完整地对信息进行表征，如“精简后比原有工作人员少了57人”。令人郁闷的是学生读完题后总是认为原有工作人员少，从而出现列式为57÷（143-57）之类的情况。

这样的问题怎么解决呢？

我把这几个小家伙叫到身边：“我们来做一个游戏，用比来说一句话，要求把话说完整，我先来，老师的年龄比你们大。”

小家伙们一听有游戏做，劲头马上起来了。学生A马上接口：“老师的头发比我们卷。”

“不，应该是你卷。”我故意这么说。

“不对。”学生A马上给我纠正。“是老师卷。”

我笑了笑，不动声色地继续让学生说下去。

“我的身材比老师的矮。” “不，老师矮。”

老师的腿比我们长。”“不，你们的腿长。”……

小家伙们一听急了，今天是怎么了，老师怎么总是出错？我一看时机差不多了，拿出他们的作业。他们一看，挠了挠后脑勺，嘿嘿地笑了！

事实上，在学生的潜意识里已有的知识和生活经验存在着很隐蔽的相似关系，如果我们能够意识到这一点，则我们的学习就变得机智巧妙，从而让学生进行主动建构，实现有意义的学习，这样的有意义地学习就保证了知识在大脑中的相对优势权。

（二）及时概括整理，重构完善的知识网络

一般来说，概括程度高、经过合理编码的知识是具有优先兴奋权的，能够进行居高临下的迁移。这样的学生在以后的学习中更能表现出分析问题和解决问题的敏捷性和正确性，表现出更高的解题智慧。

教师应有意识地引导学生对所学的知识进行概括整理，例如此类题中涉及比较的知识结构中，各知识点之间以及上下位的内在联系，差和商就是基于两个数量比较的运算结果，而无论何种比较都需要寻找一个参照物（即平常所说的标准量）才能得出明确的结果，这一点对于这些学生来说体悟是不深的。这里的参照物、同样多等概念就处于知识结构的核心地位。教师在让学生初次学习时就要引导学生反思平时生活中习以为常的生活经验，培养学生用数学的眼光观察周围的世界，完成对知识的重构。

例如教师创设了这么个情景，接着老师联系本班实际出示了一组发散性的练习：六（1）班男生23人，女生22人，我们可以怎样对他们进行比较？

比较之后引导学生进行分类整理，学生很容易体会到由于参照物（标准量）的不同，比较结果也是不同的，这就培养了学生异中见同的能力，学生的智慧得到了升华。

三、融入情知因素――提升思维

（一）提供练习平台，形成正确的认知策略。

良好的认知策略意味着学生碰倒一个问题情景时，能够知道怎样沿着一定的思路走下去，也就是说学生建构的程序化知识应该获得自动化的熟练程度，这一方面需要为学生提供必要的、一定程度的练习平台。尤其是一些学困生由于认知能力差，往往不像优秀生那样做到举一反三，可能更需要的是“举十才知一”。另一方面则尝试引导学生进行出声思维的训练，来帮助学生形成必要的程序性知识。例如让学生找出题目中表示数量关系的关键句，不完整的补充完整，并要求学生口答思维的过程。通过出声思维的训练，逐步使得学生经历知识由外化到内化的过程，培养学生在学习中学会自问自答，并随时反省自己的解题过程和思路的正确性，从而实现最有效的学习――自我否定后的自我肯定。

（二）创设和谐平台，体验愉悦的学习情绪。

巩固过程离不开训练。“导，练”结合，注重口述解题思路与算理的训练，不仅纵向延伸，掌握关键，而且横向比较，理清关系，选用题组形式更适合于复习中进行综合训练，以使学生主动探索，合作交流，把主要精力放在分析比较数量关系及其结构上，利于培养与提升学生的思维品质和数学应用意识。选练一些新型习题，可发展学有余力学生的特长。

就这样经过一段时间的辅导，我重新对这些学生进行了此类百分数应用题单独的测试。从测试结果表明，虽然个别学生还是存在一些问题，但多数学生的成绩有了很大的提高，值得高兴的是对比多比少的问题的认知障碍基本得以消除，学生的认知结构得到明显的改善，并获得了一些较为扎实的解题策略，尤其可喜的是由于注重对学生的认知情绪的培养，使得这些学生对数学学习重新树立了信心，时不时能够主动来到办公室来问这问那，并自发自觉地思考一些数学问题，用新课程的理念来说，不仅获得了知识技能、方法和过程，更是初步形成了良好的价值态度观。

参考文献：

[1]《学科学习困难的诊断与辅导》.皮连生主编.上海教育出版社，2004.12.

[2]《小学生数学问题解决与心理表征》.心理发展与教育.1996.1

[3]《复习课的价值追寻与实践探索》