几类分数阶微分与差分系统解的存在性与多重性

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摘要：在数学历史的漫漫长河中，分数阶微积分是一个崭新的研究领域，它的整个提出与发展仅仅经历了四个多世纪，从17世纪，著名的数学家莱布尼茨提出了阶数为分数的积分微分后，我们在诸多应用领域都发现了分数阶微分差分系统对于过程的记忆性和遗传性，因此研究几类常见的分数阶微分与差分系统解的存在性以及多重性具有非常重要的意义。本文主要介绍了几类分数阶微分与差分系统的应用背景，举例介绍了典型的分数阶微分与差分系统解的存在性与多重性。

关键字：分数阶微积分；微分系统；差分系统；解的存在性；解的多重性

近年来，分数阶微积分越来越广泛地应用于工程、经济、物理等许多领域，关于分数阶微分与差分系统是众多数学学者们研究的热门对象，本文的主要工作主要分为三个部分：首先，简要介绍了当下分数阶微积分的研究发展理论和背景；其次重点阐述了几类常见的微分和差分系统解的存在性和多重性；最后，提出了相关的结论。

一、分数阶微积分的研究发展

不难发现，根据不动点定理求解分数阶微分方程边值问题解的存在性，其中微分系统为，这里的是黎曼-刘维尔分数阶导数；另外，我们还查阅了与测度相关的不动点定理解决具有Caradory函数的分数阶系统解的存在性；甚至，在物理领域的脉冲方程涉及分数阶微分问题方面，也有大量的数学科研人员做此类方面的工作。

二、预备知识

引理2.2（不动点定理） 不妨设是空间，其中是的一个人凸子集，且令这样的连续紧映射，则

（1）映射在上有一个不动点；

（2）存在和，使得

三、几类分数阶微分系统和差分系统解的存在性和多重性分析

经过上文的预备知识，我们基本了解了分数阶黎曼-刘维尔积分和导数的定义以及分数阶导数的定义，许多不同类型的分数阶系统都是由这几种分数阶微积分所构造的，本文简单介绍以下几类常见的微积分系统解的存在性和唯一性。

1.分数阶模型。这一模型来源于生物研究理论中种群的生长竞争关系，研究这一模型解的存在性以及多解性能够为生物种群的发展以及灭绝的预测带来帮助。常见的分数阶方程如下：

，这里的，不难发现，只要根据预备知识中的不动点定理即可证明分数阶系统解的存在，且解是唯一的，这样我们就可以在生物研究应用中准确地分析出生物种群数量变化、关系变化以及未来发展趋势。

2.分数阶扩散波动方程系统。这一分数阶系统被广泛应用于物理力学等工程学科领域，根据我们熟知的波动原理和扩散原理将实际问题抽象成为数学模型，就得到了如下系统：

，不难发现，当时候是经典的扩散方程，即抛物方程；当时，是经典的波动方程，即双曲线方程。根据不动点定理以及求解常微分方程的基本解法，我们可以论证分数阶扩散波动系统的解的存在性与唯一性，研究这一解的特点对于物理学乃至整个工科领域意义深远。

3.分数阶黏弹性模型系统。这一系统首次提出了运用导数进行描绘流体力学中材料的高度合理性，这一模型大大拓宽了黏性材料研究范围，为控制学的发展带来了福音，其中最为经典的分数阶黏弹性模型系统为：

，这里的，其中表示黏性，表示松弛时间。经过多年来分数阶微分方程理论的不断发展，我们已经初步能够得到上述分数阶黏性模型系统解的存在性和唯一性，利用导数的性质和特征，将分数阶粘弹性模型系统应用于工程领域，这也是数学与其他学科的良好结合，大大拓宽了数学的研究范围和实用价值。

如前所述，分数阶微分积分系统经过四个世纪的发展，不仅仅理论方面得到了进步，在与其他学科领域的应用方面更得到了长足的完善，尽管分数阶系统看起来复杂而多变，但是掌握其求解的关键还是在于对根本定义的把握和方式方法的精准运用，本文针对上述四类常见的分数阶微分系统在各自应用领域中的相关原理进行了论述和分析，希望本文的研究能够为广大数学以及物理、工学、医学、化学等领域的工作者带来些许帮助，也希望能够得到各个不同领域的同志们的意见以及交流指导，共同为分数阶微分系统解的发展做出更有效的贡献。