高考数学巧遇拉格朗日中值定理

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摘 要：高中数学新课程新增加了近、现代数学思想，这为中学传统的数学内容注入了活力，也为解决一些初等数学问题的方法提供了更多的选择. 尤其在近几年的高考中，出现了以拉格朗日定理为背景的试题. 本文并非想要用拉格朗日中值定理结论来解决高考题，因为前人已经做的够多了，在此本文是试图探索运用拉格朗日中值定理的思想来解决高考题，体现的是高观点下的初等数学.

关键词：拉格朗日中值定理；高考题；不等式

拉格朗日中值定理及其证明

拉格朗日中值定理，若函数f满足如下条件:

（Ⅰ）f在闭区间［a，b］上连续;

（Ⅱ）f在开区间（a，b）内可导;

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 f′（ξ）=.

证明：设k=?圯f（b）－f（a）－k（b－a）=0.

构造辅助函数g（x）=f（x）－f（a）－k（x－a），则g′（x）=f′（x）－k.

由于g（x）在［a，b］连续，在（a，b）可导，g（a）=g（b）=0.

根据罗尔定理，存在ξ∈（a，b）使g′（ξ）=f′（ξ）－k=0，

即f′（ξ）=k=，定理得证.

例解拉格朗日中值定理思想在高考题的运用

例1 （2004年四川卷第22题）

已知函数f（x）=ln（1+x）－x，g（x）=xlnx.

（I）求函数f（x）的最大值;

（II）设0

解：（Ⅰ）略；

（Ⅱ）证?摇 先考虑要证的不等式0

由题意可知g（x）=xlnx，g′（x）=lnx+1，构造函数G（x）=g（a）+g（x）－2g（1）.

在（1）式中由于x是自变量，则相对来说a是一个固定的数，

对函数G（x）两边求导，则有G′（x）=g′（x）－2g′.

由于g（x）=xlnx，g′（x）=lnx+1，

则G′（x）=lnx+1－2ln+=lnx－ln.

当0

当x>a时，G′（x）>0，因此G（x）在（a，+∞）上为增函数.

从而，当x=a时，G（x）有极小值G（a）.

因此G（a）=0，由于b>a，所以G（b）>0，即0

设F（x）=G（x）－（x－a）ln2，则F′（x）=lnx－ln－ln2=lnx－ln（a+x）.

当x>0时，F′（x）

因为F（a）=0，b>a，所以F（b）

综上，0

分析：这是应用拉格朗日中值定理思想的一个例子（以下的例题将省略此部分的分析），根据上述证明我们可以看到，g（x）可导，且据观察就可以看出原题可以换成

?摇g（a）+g（b）－2g=g（b）－g－g-g（a）

再进一步变形g（a）+g（b）－2g=×

此式中具有拉格朗日中值定理的形式，且在此式中有两个参数a和b，于是选定一个主元b，并构造出主元b的函数“G（b）=g（a）+g（b）－2g”，把函数化成我们所熟悉的以x为自变量的函数“G（x）=g（a）+g（x）－2g（）”，再对构造函数进行求导“G′（x）=g′（x）－2g′”，这个求导过程便是进一步靠近拉格朗日中值定理表达式的形式的方法.再通过函数G（x）的求导得出函数G（x）本身的性质:

“当0

当x>a时，G′（x）>0，因此G（x）在（a，+∞）上为增函数.

从而，当x=a时，G（x）有极小值G（a）.”

最终通过函数G（x）得出原不等式“0

评价：从题目问题中看，未能看到f（x）和g（x）的联系，两个小题没有本质上的联系，第（Ⅰ）题只是用到f（x）而没有用g（x），而第（Ⅱ）题不需要第（Ⅰ）题的结果也可以单独解出. 参考答案中要联系第（Ⅰ）题中的ln（1+x）－x－1，且x≠0）才能求解第（Ⅱ）题，学生会较难想到要运用第一小题的结论，而且解第（Ⅰ）题需要花较多的时间，这使得有限的时间变得更少，这样，对于学生来说是一个挑战. 若运用拉格朗日中值定理不仅可以不用考虑第（Ⅰ）题的结论，而且可以运用拉格朗日中值定理较快接近证明的结果，不需要太多技巧，经过适当的步骤，就可以轻松的得到结论.

?摇可以运用拉格朗日中值定理来解决问题的高考题有：（在这里不一一具体解答）

1. （2006年四川卷理第22题）

已知函数f（x）=x2++alnx（x>0），f（x）的导函数是f′（x），对任意两个不相等的正数x1，x2，证明:

（Ⅰ）当a≤0时，>f.

2. （2007年高考全国卷Ⅰ第20题）

设函数f（x）=ex－e-x．?摇

（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．

3. （2007年安徽卷18题）

设a≥0，f（x）=x－1－ln2x+2alnx（x>0）.

（Ⅱ）求证:当x>1时，恒有x>ln2x－2alnx+1.

4. （2009年辽宁卷理21题）

已知函数f（x）=x2－ax+（a－1）lnx，a>1.

（Ⅱ）证明?摇若a－1.

5. （2010全国卷Ⅰ第20题）

已知函数f（x）=（x+1）lnx－x+1.

（Ⅱ）证明:（x－1）f（x）≥0.

总结

从以上的分析中，我们可以看到拉格朗日中值定理的种种好处. 首先，可以化简繁琐的计算；其次， 可以省略很多复杂的区间单调性讨论和参数的取值讨论的问题，避免思维的局限性；最后，运用拉格朗日中值定理的思想可以使思路更为清晰、自然，体现了高观点解题的优越性. 更为重要的是让读者知道解题的来龙去脉，之所以然，领会到学习数学并不是记忆简单的公式和定理，生搬硬套公式和定理. 学习定理既要掌握定理本身的内容，更要真正掌握定理的本质，内化定理的思想方法及其对以后解题思路的灵活性，达到融会贯通，举一反三的效果. 拉格朗日中值定理是大学数学的一个重要定理， 把这些定理与中学数学的知识联系起来，这样不仅可以使我们加深对现代数学的理解，而且能使我们更好的把握中学数学的本质和关键，从而可以居高临下的处理问题（拉格朗日中值定理在中学数学中的运用）.