单自由度非弹性结构基于损伤性能的设计地震载荷

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【摘 要】本文建立了一非弹性结构设计地震载荷建模新框架。假定仅在指定点有强地面运动的有限信息。利用非线性优化技术，通过求解动力学逆问题估算设计地面加速度。本文还介绍了基于能量概念和损伤指标的结构性能测定方法，尤其是通过Park和Ang损伤指标将结构性能量化。损伤指标说明结构损伤是受到重复逆向应力和高压偏移的共同影响所致。

【关键词】设计地震载荷 输入能 非弹性结构 滞回耗能 损伤指数

对结构抗震性能的评估是地震工程领域的一重要问题。结构工程师的基本目标是设计出能抵御地震且经济又实用的工程结构。要实现这一目标，应满足如下条件：（1）现场地动的可靠定义，（2）材料特性的准确数学模型，以及（3）能准确表述地震载荷下结构损伤的有效描述符。

几十年来，结构的抗震设计一直是一活跃的研究领域。早期的研究成果从现场弹性和非弹性设计反应谱角度确定地震载荷，确定地表加速度时程，或采用随机振动理论。许多研究者还建立了危险反应谱。其它研究人员也进行了一些关于数学模型的研究，用以描述地震时结构的滞回非线性特性。然而，在近些年的地震中发现，结构的性能无法满足抗震需求，这就激发研究人员开始寻求新的抗震设计方法以完善现有方法。这包括新的设计理念，如基于震能的设计，基于性能的设计以及阻尼器最佳布位的抗震设计。

本文建立一新框架，通过临界激励法，为结构抗震设计明确可靠的设计地震载荷。这种方法有赖于地震发生和地震特征的高度不确定性（如时间、地点、震级、时程、频谱及振幅），同时也取决于重要结构和生命线结构的安全要求（如核电厂、储油罐和工业设施）。既有文献中关于非线性结构的临界地震建模资料有限。德瑞尼克和艾扬格就该问题提出了早期的研究思路。艾扬格（1972年）通过限制输入能量来计算非线性杜芬振荡器的临界地震输入值。德瑞尼克（1977年）从线性化系统的脉冲响应角度推导出非线性系统的临界激励值。菲利帕科普洛斯和王（1984年）将临界输入值表述为记录加速度图的线性求和，并确立了现场临界非弹性反应谱。但这一系列方法都是值得商榷的。威斯特摩（1985年）用变分法展示了弹塑性系统的临界输入值并不和谐一致。近来，塔凯瓦琦（2001年）通过等效线性化方法估测弹塑性结构的临界概率性地震，将层间位移最大化。阿巴斯（2006年）通过将延性比最大化推导非弹性结构的临界地震载荷。同样，通过一次二阶矩法（FORM）和响应面近似法计算临界概率性地震，应用于非弹性结构和参数激励结构。

从上可知，大多数前述的研究工作或仅停留在概念层面，在表现地动或在计算结构响应时采用近似法，或是以单个响应参数的最大值为基础。本文避免采用近似法，而是通过引入结构损害的先进测算方法得出非弹性结构的可靠地震载荷。通过Park和Ang损伤指标来量化结构性能，从而得到结构损害和必要修复的定量方法。

1 地震载荷下非弹性结构的反应及损伤表征

本节简要阐述了地震载荷下单自由度（SDOF）非弹性结构的地震反应分析和震能的量化，进而对损伤指标形成过程中非弹性反应参数的运用以及结构所吸收的震能予以说明。

1.1 非弹性结构的动态分析

地震加速度单组分条件下，非线性SDOF结构的运动方程为：

其中，m和c分别表示结构的质量和阻尼系数；为弹性滞回恢复力；为结构位移，点表示对时间的微分。图1表述了双线性和弹塑性材料非弹性变形与弹性滞回力间的关系。等式（1）可改写为：

其中，和为屈服前阻尼比和自然频率；为屈服位移；为标准化滞回力。等式（2）可进一步转化成：

图1：非线性材料的力-位移关系：（a）双线性模型；（b）弹塑模型

其中等于为延性比；等于为常数，可解释为产生屈服力所必须的质量加速度值。非弹性SDOF结构的反应值可通过离散时间点数值积分求解等式（1）和（3）的增量形式得出。本研究中，我们使用纽马克β-法。对于双线性性能，通过递次求近法弥补上一步用割线刚度近似法产生的不足。下节中，我们将阐述地震输入能量及相关的结构耗散能量的量化。

1.2 地震输入能量和非弹性结构耗散的能量

SDOF非弹性结构的能量平衡可通过相对速度乘以等式（1）然后积分获得，从而得出：

等式（4a）和（4b）代表相对能量项。式中，是地震给予结构的相对输入能量，因为地震结束前地表均在震动。为相对动能（等于），是阻尼物质吸收的能量。能量代表弹性结构吸收的总相对能量，包括可恢复弹性能量和滞回累计塑性能量。

地震结束时，动能和弹性应变能消失。因此，结构承受的地震输入能量通过滞回和阻尼能量形式耗散。下节将阐述如何运用反应参数和塑性能量确立损伤指标。

2 利用损伤指标进行非弹性结构安全评估

地动下结构损伤测试法的研究文献颇多。损伤指标基于单个或多个结构反应参数组合而得出。表1以单个反应参数为基础，总结了多个损伤测量方法（鲍威尔和阿拉哈巴迪，1988年；科森扎等人，1993年）。方法一指出在地震过程中产生的极限延展性。显然，这种方法未能体现地震输入能量如何作用于结构或能量如何耗散。地震损伤的产生不仅取决于最大变形或延展性，也和结构耗散的滞回能量有关。基于延展性系数对结构损伤进行定义是不全面的。最后三种方法表明地震输入能量作用于结构的速率（如地震以多快速度作用于结构，又以多快速度耗散）。通过把地震的反应参数与结构承载能力进行比较可以估算损伤指标。鲍威尔和阿拉哈巴迪（1988年）从地震时获得的极限延展性（能力）μu和最大延性角度提出了损伤指标μmax：

但不包括滞回能量耗散产生的影响。科森扎等人（1993年）和法亚尔（1992年）基于结构滞回能量提出了一个损伤指标：

可靠的损伤测量方法应不仅包括最大反应值，还应包括反复循环载荷产生的影响。帕克和其工作人员得出一个简单的损伤指标，即（帕克等人，1985年；帕克和安，1985年； 帕克等人，1987年）：

式中，和为地震时的最大位移和耗散滞回能量（不含弹性能量）。注意，是地动下位移反应的最大绝对值，是简单负荷下的极限变形能力，β是正常数，加权周期负荷对结构损伤的影响。若β=0，周期负荷对的影响可忽略。结构损伤的状态可定义为（a）当< 0：40，可修复损伤，（b）当0：40 ≤ < 1：0，无法修复，和（c）当 ≥ 1：0，完全或全部倒塌。这些标准通过实验结果和地震过程中的实地观测对的校准得出（Park等人，1987）。Park和Ang损伤指标显示，最大延展性和滞回能量耗散均能影响地动下的结构抗震性。在等式（7）中，损伤表示为过度变形造成的损害与重复循环负荷的影响的线性组合。同时，量数取决于负载史，而量数则不受其影响，由实验测试结果决定。本文中我们采用Park和Ang损伤指标导出设计地震载荷。下节中我们将对此进行阐述。

3 非弹性结构基于损伤性能的设计地震载荷

本节将讨论SDOF非弹性结构的临界地震载荷的推导过程。地表加速度表示为一傅里叶级数和一包络函数：

式中，A0为度量常数，参数α1， α2赋予瞬时属性。接下来，和分别是两的未知振幅和相位角。为地表加速度中出现的频率，用以提供符合要求的频率范围。在构建临界地震输入值时，包络函数视为完全已知。能量E，峰值地表加速度（PGA）M1，峰值地表速度（PGV）M2， 峰值地表位移（PGD）M3，傅里叶振幅谱上限（UBFAS） ，傅里叶振幅谱下限（LBFAS）均为已知，具备上述条件就可定义约束方程如下（阿巴斯和马诺哈尔2002年；阿巴斯2006年）：

式中，为的傅里叶变型。地震能量约束方程与阿里亚斯强度（阿里亚斯，1970年）有关。UBFAS约束和LBFAS约束用以复制地震设计载荷现有加速图中观测到的频谱和振幅。式（8）中的地表速度和位移值可通过如下等式得出：

利用条件和（筱冢健次郎和亨利，1965年），上述等式中的常量可表示为（阿巴斯和马诺哈尔，2002年；阿巴斯，2006年）：

等式（9）中的约束也可通过变量表示为：

式中i等于。为量化约束量E，M1，M2，M3，和，假定现有一组表示为的Nr个可用于现场研究的地震记录或是从具有类似地质土壤结构的其它现场获得的记录。从每个记录中都能获取能量值，PGA，PGV和PGD。所有记录中的最高值定义E，M1，M2和M3。经过对现有记录的进一步归一，每个记录的阿里亚斯强度设定为统一值（如等于1，阿里亚斯1970年），表示为。界限值和为：

式中，表示第i次归一加速度图的傅里叶变型。界限值在先前的研究中有被考虑（筱冢健次郎，1970年；塔克瓦伊，2001年；2002年）。穆斯塔法（2002年）和阿巴斯和马诺哈尔 （2002年）对下限值也有所研究。

最终得出非弹性结构的临界地震载荷的推导关键在于优化变量的确定，进而通过约束方程（12）将最大化。非线性约束方程的优化问题可通过序列二次规划法解决（阿罗拉，2004年）。采用如下收敛性判别准则：

式中，f j为第j次迭代的目标函数；为第j次迭代的优化变量；ε1， ε2为需指定的小量。通过纽马克β-法在优化程序内部建立子程序，实现对结构非弹性变形估测。

量数和不同时达到各自最大值。因此，在时间离散点实现优化，最优解是所有时间点过程中产生最大的情况。临界地震载荷的特征表现为临界加速度和相关损伤指标，非弹性变形以及结构耗散的能量。

数值分析中，约束量E，M1，M2，M3，和通过原有地震数据来估测。这些量数为原有地动记录组相关参数的极值。这些参数定义了能量、PGA、PGV、PGD以及研究现场或与其具有类似地质土壤结构的其它现场的原有地动记录的傅里叶振幅谱的上下限。该方法与工程师通常使用的地动模型类似，主要旨在复制某些地动的整体特征，如振幅、频谱、非平稳趋势、土壤放大效应和持续时间。现有文献研究中已建立将断裂尺度、断层方位、破裂速度、震级、衰减、应力下降、居间媒质密度、当地土壤条件和震中距等因素考虑在内的预测或物理模型，这些多为地震学家的研究成果（参见布龙，1970年；汉克斯和麦圭尔，1981年；布尔，1983年；奎克等，1990年）。使用这些模型时，需要对大量参数赋值，模型是否成功取决于赋值的真实性。在最新一类模型的基础上是有可能构建最优地震模型的，通过优化模型参数来实现最不利条件。在临界激励确定过程中，容许函数受到物理模型选择的进一步约束。在此意义上，本文使用的方法在本质上是非参数性。将基于本方法获取的结果与“模型法”取得的结果相比较还是有意义的。但这些问题在目前研究中未作考虑。

4 结语

本文阐述了一种在地震数据有限情况下，用现场非弹性结构的设计输入值将地动具体化方法。引入新的损害描述符来推导最优地震载荷。尤其是通过Park和Ang损伤指标对结构损伤进行量化。损伤指标是结构损伤状态量化描述的数学模型，与地震时的实际损伤密切相关。以损伤指标量化结构损伤对于非弹性结构临界地震载荷的推导是极为重要的。这是因为损伤指标潜在表明，结构损伤由重复的应力反转和高压偏移共同造成。通过损伤指标量化结构损伤使得结构的安全评估成为可能，同时为必要的修复提供了思路。设计地震值是通过反向动力学分析和非线性优化法在现有信息的基础上估算出的。可以看出，若有关能量和PGA的信息有限，对应的地震就共振强度大并会产生保守变形。不过，如有傅里叶振幅谱的相关信息，通过频谱、振幅、非弹性变形和损伤指标等就能获得更可靠的地震值。本文研究应变硬化和阻尼系数对设计载荷的影响的同时，建立了现场临界损伤谱。这些损伤谱给出了未来地震中结构损伤的上限和必要修复。本文的论述用于SDOF系统建模的框架结构。上述方法在MDOF结构中的应用目前仍有待研究。此情况下结构的整体损伤指标是通过个体结构损伤指标的加权函数来定义的。