浅谈一题多解在数学中的应用

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【摘要】一题多解是开发智力、培养能力的一种行之有效的方法，它对沟通不同知识间的联系，开拓思路，培养发散思维能力，激发学生的学习兴趣都十分有益。在教学中，适量地采用一题多解的方法，进行思路分析，探讨解题规律和对习题的多角度“追踪”，能“以少胜多”地巩固基础知识，提高分析问题和解决问题的能力。

一题多解的构思方法是：从数学基本知识方面构思；从数学基本方法方面构思；从初等数学中的代数、立体几何、解析几何、三角函数等的横向综合沟通方面构思，等等

例如： 题目：等腰三角形底边上任意一点到两腰上的高等于定值；

已知是等腰三角形，点D是底边BC上任意一点，，

求证：DE+DH等于定值

这是一道常见的几何证明问题，难度不大，但很经典，证明方法也很多。

证法一：（图1-1） 作CFAB于F，DGCF于F；

因为DGCF，CFAB，DEAB

所以四边形DEFG是矩形

所以DE=GF

因为AB=AC

所以∠B=∠HCD

因为DG//AB

所以∠GDC=∠B

所以∠HCD=∠GDC

又因为CD=CD

所以CDG≌DCH（AAS）

所以DH=CG

所以DE+DH=GF+CG=CF

证法二：图（1-2）连结AD。过D作DEAB DHAC

ABD的面积=1/2*DE*AB

ADC的面积=1/2*DH*AC

因为AB=AC

所以ABC的面积=ABD+ADC=1/2*（DE+DH）*AB

又因为ABC的面积=1/2*（AB边上的高）*AB

所以AB边上的高=DE+DH

所以底边上任意一点到两腰距离之和等于一条腰上的高

证法三：图（1-2）因为AB=AC，所以∠B=∠C

分别在RtBDE， RtCDH中

有DE=BDsinB， DH=CDsinC

所以DE+DH=BDsinB+ CDsinC=（BD+CD）sinB=BCsinB

同时我们还可以对本题做适当变形：

1、等边三角形内一点到三边距离为定值

（过该点作底边平行线，由前面证明可得）

2、在等边三角形外一点

3、等腰三角形内任意一点，到三边距离为定值

4、正n 边形内任意一点到各边距离之和为定值；

……

同时在一题多解中要着重从以下几个方面注重培养学生的创造思维能力。

1、要注意培养发散思维。发散思维具有流畅性、变通性和创造性的特征。加强发散思维能力的训练是培养学生创造思维的重要环节。一个人创造能力的大小，一般来说与他的发散思维能力是成正比例的。在教学中，要通过一题多解、一题多变、一题多思等培养学生的发散思维能力。

2、要注意诱发学生的灵感。灵感是一种直觉思维，是由于长期实践，不断积累经验和知识而突然产生的富有创造性的思路，是认识上质的飞跃。灵感的发生往往伴随着突破和创新。

3、充分利用“学生渴求他们未知的、力所能及的问题”的心理，培养学生的创新兴趣。

4、教师应当充分地鼓励学生发现问题、提出问题、讨论问题、解决问题，通过质疑、解疑，让学生具备创新思维、创新个性、创新能力。

他山之石，可以攻玉。巧借数学工具，既降低了学生对数学题的畏惧感，激发了他们的学习兴趣，同时授人以鱼，不如授人以渔。通过一题多解、一题多变还可培养学生的发散思维能力，取得良好的教学效果。