多解问题分类解答

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在中考试题中，多解问题是一类常见而重要的问题，解决这类问题要多角度、全方位、深层次地思考.下面以2011年中考试题为例，对常见的多解问题加以归类解析，供复习时参考.

一、由开放性问题引起的多解

例1 （2011年贵阳卷）在三个整式x2-1，x2+2x+1，x2+x中，请你任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当x=2时分式的值．

解：以x2-1为分子，x2+2x+1为分母，组成分式■．

■=■=■.

当x=2时，原式=■=■．

温馨小提示：由于这类问题的答案有“多解”，在交流答案时切不可“舍异求同”．

二、由概念引起的多解

例2 （2011年漳州卷）如图1，直线y＝－2x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到OCD．

（1）填空：点C的坐标是（ ，

）；点D的坐标是（ ， ）；

（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；

（3）在y轴上是否存在点P，使得BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）点C的坐标为（0，1），点D 的坐标为（-2，0）.

(2)直线CD的解析式为y=■x+1，与y=-2x+2组成方程组，可求得点M(■，■)；如图1，过点M作MEy轴于点E，

则ME=■，BE=2-■=■，BM=■=■■.

(3)存在，分两种情况讨论：

①以BM为腰时，（ⅰ）当点B为顶角的顶点时，如图2，

BM=■■，又点P在y轴上，且BP=BM，此时满足条件的点P有两个，分别是P1(0，2+■■)，P2(0，2-■■)；

（ⅱ）当点M为顶角的顶点时，如图3，作MEy轴于点E，

∠BMC=90°， 则BME∽BCM.

■=■，BE=■=■.又因为BM=MP，所以PE=BE=■.

所以BP=■，OP=2-■=■.

此时满足条件的点P有一个，它是P3(0，■)；

②以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴和BM于点P、F，

∠BMC=90°， PF∥CM，点F 是BM的中点，

所以BP=■BC=■，所以OP=■.

此时满足条件的点P有一个，它是P4(0，■) ．

符合条件的有P1(0，2+■■)，P2(0，2-■■)，P3(0，■)，P4(0，■) ．

温馨小提示：由等腰三角形概念引起的多解问题是中考的热点，要不重不漏地求出所有答案，选好分类标准很重要. 在等腰三角形中，需要讨论某一边为腰或底这两种情况，而这一边为腰时往往又有两种情况，所以要全方位、多角度思考，才能得到所有答案．

三、由点的不同位置引起的多解

例3 （2011年广州卷）已知RtABC的斜边AB在x轴上，点C（1，3）在反比例函数y＝■的图像上，且sin∠BAC＝■．

（1）求k的值和边AC的长；

（2）求点B的坐标．

解：（1）把C（1，3）代入y＝■，得k＝3．

设斜边AB上的高为CD，则sin∠BAC＝■＝■．

C（1，3），CD＝3. AC＝5.

（2）分两种情况. 当点B在点A右侧时，如图5，有AD＝■＝4，AO＝4－1＝3．

ACD∽ABC，

AC2＝AD·AB.

AB＝■＝■.

OB＝AB－AO＝■－3＝■.

此时B点坐标为（■，0）.

当点B在点A左侧时，如图6，此时AO＝4＋1＝5，OB＝ AB－AO＝■－5＝■，此时B点的坐标为（-■，0）．

所以点B的坐标为（■，0）或（-■，0）．

温馨小提示：已知函数图像上的点，求其解析式，直接代入即可；已知一个锐角三角函数的值，要放到直角三角形中才能应用；对于直线上位置顺序不确定的点，由于位置不一样而形成不同的答案，所以需要分类讨论．

四、由图形顶点顺序的变化引起的多解

例4 （2011年贵阳卷）【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（■，■）．

【运用】（1）如图7，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为______；

（2）在直角坐标系中，有A（-1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．

解：（1）四边形ONEF是矩形，点M是OE的中点．

O（0，0），E（4，3），点M的坐标为（2，■）；

（2）设点D的坐标为（x，y）．若以AB为对角线，AC、BC为邻边构成平行四边形，则AB、CD的中点重合，

■=■，■=■.解得x=1，y=-1.

若以BC为对角线，AB、AC为邻边构成平行四边形，则AD、BC的中点重合，

■=■，■=■.解得x=5，y=3.

若以AC为对角线，AB、BC为邻边构成平行四边形，则BD、AC的中点重合，

■=■，■=■.解得x=-3，y=5.

综上可知，点D的坐标为（1，-1）或（5，3）或（-3，5）．

温馨小提示：当平行四边形的某一顶点不确定时要逐一讨论，以对角线为依据来确定某一点的位置是常用方法．