基于GARCH(1,1)模型的中国股市收益率预测研究

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摘 要：文章基于garch（1，1）模型估计股票未来收益率范围。首先利用此模型求出个股的年波动率，并结合股票价格正态性估计出某时段的收益率范围，然后以实际数据进行验证，经运用和验证后确定此模型的可适用性;最后以此模型估计未来股票收益率范围，基于国内股市易受国家政策影响的特点提出投资意见。

关键词：股票价格收益率 波动率 GARCH模型

中图分类号：F830.91 文献标识码：A

文章编号：1004-4914（2015）08-097-04

一、引言

波动率是股票收益率不确定性的一种度量，是衡量金融风险的重要指标，被广泛使用于整个金融理论研究与投资实务中，例如资产定价、投资组合优化、风险管理等。研究表明，波动率具有明显的集聚性和持续性，具有很强的自相关特性，因此，对于市场波动率的历史研究能够帮助人们更好地预测它的变化趋势、管控投资风险、提高收益率。现实需求与理论需求，催生了大量的波动率预测模型研究，典型例子如指数加权移动平均（EWMA）模型、自回归条件异方差（ARCH）模型、广义自回归条件异方差（GARCH）模型，等等。就GARCH模型来说，使用最为普遍的当属GARCH（1，1）模型。研究人员使用这些模型对金融市场做了许多研究，包括汇率市场、期货市场、股票市场、金融衍生产品市场等。

中国经济在2010年成为世界第二大经济体，国内投资者投资需求急剧扩大，但受限于国内金融市场的不发达，大量的国内投资者仅限于房地产、国债、基金、股票等少数产品，期货、期权等衍生品投资只是少数人的投资领域。在国内房地产价格持续多年爆发性上涨之后，许多个人投资者把目光投向了股票市场。分析预测股票市场收益率的未来趋势，可以为个人投资者提供一定的参考。本文选取了国内11个板块的代表性个股作为研究对象，使用GARCH（1，1）模型分析各板块收益率的波动率、预测未来股票收益率的范围。

二、数据选取和分析

本文选取沪深300成份股中的代表11个不同板块的11只股票作为研究对象，涵盖2011年首个交易日的收盘价至2014 年最后一个交易日共969个数据。为了方便分析，防止休市日数据空缺，将数据向前推移，形成连续的时间序列。其来源是大智慧软件的历史数据。无论是对投资者还是分析人员来说，收盘价都是很重要的，更能反映上市股票的股份走势，从而具有引导投资者或者分析人员的作用。日市场收益率，是反映日价格波动变化程度的指标，收益率的标准差或方差可以体现市场的波动特征和风险特征，因此选择日市场收益率来研究既是市场需求也是研究惯例。

通过对选取的11只股票股价进行统计分析，通过使用大智慧软件下载，得到各股的日收盘价格，表1列出各股的统计期间的首个收盘价和最后收盘价，以及除去各股停牌日的数据得到总的数据个数。最少为928个，最多为969个，基本在940个左右。

（一）收益率描述性统计

先描述建立模型和统计检验所使用的基本数据，将股票市场日收益率rt定义为股价比值的对数，即股价对数值的一阶差分。

rt=ln=lnst-lnst-1

其中st，st-1表示时刻t，t-1的股票收盘价格。选取对数收益率在统计计算时更容易处理：

lnst-lnst-k=lnss=lnss・ss…ss

=lnss+lnss+…lnss

=rt+rt-1+…rt-k

这样连续复合多期的收益率只需要把它写成单周期的收益率的加总。

下面就国金证券做详细介绍。求出国金证券股票的日收益率，并结合时间变化得到收益率的时间序列图：

通过对国金证券收益序列的线性图可以看出，国金证券股票收益率表现出持续性和波动集聚性，即大的波动后面常常伴随着较大的波动，较小的波动后面的波动也较小。

对于国金证券进行分析，经检验统计得到国金证券对数收益率序列均值（Mean）为0.1056%，标准差（Std.Dev.）为0.030495，偏度（Skewness）为0.350899大于0，说明序列分布有长的右拖尾，即样本期间内收益率大于于平均值的交易日较多。峰度（Kurtosis）为4.625334，高于标准正态分布的峰度3，说明收益率序列具有尖峰的特征。Jarque-Bera统计量为38.80067远大于标准正态分布的临界值9.21，说明存在“厚尾”的特征，P值为0.00000，拒绝该对数收益率序列服从正态分布的假设。

对于其它10只股票的统计描述重复以上操作。得到收益率时间序列与图1类似，所以就不一一绘出，都具有相似特征。而其它10只股票的描述性统计量经过整理与国金证券的数据整合后得到表2，从表2中可以了解到国金证券的平均收益率最高，北大荒的最低。偏度都不为0，峰度值都大于3，J-B值也都非常大。所以其它10只股票的收益率序列也拒绝服从正态分布假设。

（二）序列的平稳性检验

在对收益率分析之前，首先遇到数据的平稳性问题，因为GARCH模型对样本数据的要求是序列必须保持平稳。本文运用ADF（Augmented Dickey―Fuller test）方法检验方法进行序列平稳性检验，对收益率序列进行检验，得到的ADF结果如表3。

ADF检验结果显示：对于国金证券的t统计量的值-29.92496小于显著性水平为1%的临界值，同时对应P值为0，则股票收益率序列在1%的显著性水平下拒绝原假设，即接受不存在单位根的结论，因此收益率序列是具有平稳性，说明利用ARCH类模型进行模拟是有效的，同样检验其他10只股票，得到的ADF检验结果显示也具有平稳性，从而利用ARCH类模型进行模拟也是有效的。

（三）序列残差ARCH效应检验

序列的平稳性得到检验，再对序列的相关性进行检验，如果序列不具有自相关性则只需要考虑GARCH模型，否则需要嵌入ARMA模型来消除序列的相关性，再次，对数据进行异方差ARCH效应检验。

对于序列自相关性的检验，调用Eviews中的view-correlogram检验得到其序列的自相关函数分析图2。

AC是自相关系数ξk，即构成时间序列的每个序列值rt，rt-1，…rt-k之间的简单相关关系。图1中右边的序列数字1，2…12表示滞后阶数，ξk表示时间序列中相隔k期的观测值之间的相关程度。ξk的取值范围是-1～1，并且越接近1，自相关程度越高。PAC是偏相关系数？渍kk，是指对于时间序列rt，在给定rt-1，rt-2…rt-k+1的条件下，rt与rt-k之间的条件相关关系。其值的范围为-1～1，AC下对应的数值表示对应滞后阶数k下的自相关系数大小，可以观察到序列的自相关程度很低。且Q统计量对应的P值均大于置信度0.05，所以序列在5%的显著性水平上不存在显著的相关性。其它10只股票经同样检验发现其它收益序列也不具有显著自相关性。

由于序列不存在显著的相关性，即rt与rt-1之间无关系是由于受到白噪声干扰。将白噪声定义为εt。

设立模型：rt=πt+εt

将去序列去均值化，得到et=rt-rt，国金证券取均值后为et=rt-0.001056

通常检验一个模型的残差是否含有ARCH效应的检测方法包括：ARCH―LM检验和残差平方相关图检验。本文运用残差平方相关图方法来检验国金证券的收益率序列。对残差的平方相关图检验首先建立zt=e2t，再对zt用软件取view-correlogram，得到zt的自相关函数分析图如下：

由图3可以观察自相关系数AC，PAC对应的值很小，且Q统计量对应的伴随概率p都基本为0。所以残差平方序列存在自相关，即序列具有ARCH效应。

重复以上操作得到其它10只股票的残差平方序列自相关函数分析图，整理数据后得到表4（见下页），除了宝新能源的伴随概率随着滞后阶数增大而趋于0以外，其它各股对应伴随概率都趋近于0这里就没有一一列出。由表4可知宝新能源在高阶滞后下也具有ARCH效应，其它10只股票的ARCH效应显著，所以这里只需用GARCH模型对各股收益率下一列进行建模。

三、GARCH（p，q）模型

在描述收益率序列rt的GARCH（p，q）模型由两部分组成。第一部分是均值过程：

Rt=a+θiRt-i+εi+ηjεt-j

第二部分为条件异方差：

h2t=β+φiε2t-i+ψjh2t-j;β>0，φi>0，ψj>0;

即随机扰动项满足上式则序列服从GARCH（p，q）过程。

实际应用中，模型中的q值较小，所以一般地GARCH（1，1）模型就能够描述大量的金融时间序列数据。

（一）GARCH（1，1）一般模型

GARCH（1，1）模型的公式为

σ2t=γVL+αr2t-1+βσ2t-1 （1）

其中，σt为t天后的某个市场变量的波动率，σ2t为第t天的方差率，VL为长期平均收益率方差，γ为VL的权数，α为r2t-1的权数，β为σ2t-1的权数。因为权数之和为1，有

γ+α+β=1

GARCH（1，1）模型中的“（1，1）”表示σ2t是基于r2的最近观测值和方差率的最近估计值。

设ω=γVL，则GARCH（1，1）模型可以重新写为

σ2t=ω+αr2t-1+βσ2t-1 （2）

估计参数的时候，常用模型（2）的形式，一旦得到ω，α以及β的估计值，则γ等于1-α-β。长期平均方差率VL可以计算成ω/γ。为了得到稳定的GARCH（1，1）过程，需要满足α+β<1，不然长期方差率的权数将是负值。

（二）GARCH（1，1）模型中的参数估计

σ2t=ω+αr2t-1+βσ2t-1

通过EViews软件估计各股票模型参数结果如表5所示：

通过表示了计算GARCH（1，1）模型参数的过程，经过计算的到的参数值分别为ω=3.02e-05，a=0.053084，β=0.915674，

得到：σ2t=3.02e-05+0.05308r2t-1+0.915674σ2t-1

并且本例中长期方差率VL为：0.0009666784长期波动率为=0.03109，即日波动率0.03109，而年波动率σ=0.03109=0.492356即49.2356%，由于股票波动率典型处于15%～60%之间，通过实际波动率的值49.2356%对GARCH（1，1）模型预测准确度做一个预估计。

四、波动率预测

股票波动率可以定义为股票收益率的年标准差。对于股票未来波动率对于投资者或证券研究人员非常重要，所以会尝试估计出未来波动率，这里主要利用GARCH（1，1）模型来估计。

（一）波动率的极大似然估计

首先定义第i天的方差估计值vi=σ2i。我们假设ri关于方差的条件概率分布为正态分布。那么，最佳的参数应该最大化表达式（3）的值：

exp （3）

取对数得到右式中的-lnvi-最大化，即-mln（v）-最大化，我们只需要使得最大化即，将该等式关于v求导，并令它等于零，我们得到的v的极大似然估计为r2i。即可以定义第3天的波动率v3=r22=1.8971e-06，从而对于未来某天的波动率可以基于已知波动率求出。

（二）未来股票波动率的估计

第t天的波差率可以从第t-1天结束之时估计得出。当使用GARCH（1，1）模型的时候，该值为

σ2t=（1-α-β）VL+αr2t-1+βσ2t-1即

σ2t-VL=α（r2t-1-VL）+β（σ2t-1-VL） （4）

在未来的第t+n天，有σ2t-n-VL=α（r2t+n-1-VL）+β（σ2t+n-1-VL）r2n+t-1的期望值为σ2n+t-1。因此E[σ2t+n-VL]=（α+β）E[σ2t+n-1-VL]，其中E表示期望值。反复利用该等式，可以得到E[σt+n-VL]=（α+β）n（σ2t-VL）即E[σ2t+n]=VL+（α+β）n（σ2t-VL），该公式利用了第t-1天结束之时存在的信息，预测了第t+n天的波动率。

例如已知2011年1月6日国金证券股价波动率为1.8769e-06，可以求出2014年12月31日的股价波动率期望为E[σ2946]=VL+（α+β）943（σ23-VL）=0.000966647。这样我们利用这个模型可以估计未来股票收益率的波动率，在为股票投资者提供一种参考。

五、收益率预测

由于股票市场的股票收益率的分布不符合正态分布而是接近稳态分布，所以对于股票收益率的预测比较难控制，而本篇论文结合传统B-S期权定价模型假设股票价格在短时间内变化服从正态分布，根据正太分布的可加性可以假设股票价格收益率服从正态分布。以此估计股票未来收益率。

由伊藤定理推导出lns遵循的过程满足的股价行为模型：

ln（sT/s0）～渍μ-T，σ

μ为股票年预期收益率，σ为股票价格的年波动率。

现在定义μ为0时刻与T时刻之间的连续复利年收益，那么：

sT=s0eμT，因此μ=ln

其中s0=7.3，st=19.79，T=4，σ=0.4924

得μ=0.2493，则3个月后的股票收益率满足式（4）：

ln（s0.25/s1）～渍0.2493-0.4924/2×0.25，0.4924

（4）

s0.25为2015年3月底的股价，s1=19.79。

由于一个正态分布变量值位于均值两边1.96倍标准准差范围内的概率为95%。因此，95%的置信度下3月底收益率范围为

0.032-1.96×0.2462

即实际收益率落在-0.45～0.515之间的概率为95%。通过大智慧软件取得数据2015年3月31日的股票收盘价格为25.51，当天收益率为0.254为正好落在这一区间内。同样估计出其它股票的波动率期望以及2015年3月31日的收益率，验证收益率是否落在预测的3月低股票收益率范围内，结果如表6。

由表6可以看出11只股票的实际收益率落在预测范围内的有7只，而有4只股票的实际收益率超出估计范围上限。由于2011到2014年股票市整体缓慢上升，这里利用历史数据预测2015年股票收益率。而近几年在新一轮经济改革下，国家相继出台经济政策，例如2015年1号文件关于农业改革，“一带一路”的不断发展，“国企改革”等等一系列举措在刺激国内需求，再结合国内股市受国家政策影响较大的特点。所以2014年下半年和2015年一季度的股市涨幅普遍较大，所以政策相关股的收益率基本超出预期收益率上限范围。同时对股票未来的某天的的波动率的平方提供期望值，能对于股票后期风险波动提供一定参考，所以此模型具有一定实用性。结合实证结果最后运用此模型估计6月初的各股收益率，可以提供投资者和研究员提供参考。

六、主要结论与启示

本文结合GARCH（1，1）模型估计股票未来波动率和收益率。这样投资者和研究人员在分析股票的时候结合估计结果可以做一定的参考分析。这里11只股票涉及11个不同板块领域，以及结合“一带一路”和“国企改革”等大的经济政策方针，结合中国股票市场和宏观经济的关系，不难看出钢铁、铁路的板块股票涨幅明显较大，适合投资，对于厌恶风险的投资者可以选择银行、钢铁和通信行业，因为它们的年波动率相对较小，而对于风险爱好者可以推荐证券行业，它的年波动率较大且收益率范围最大，适合风险爱好者投资。结合此模型可以对其它股票做同样研究预测为投资分析作参考。以上的结论意见由本文实证研究所得，仅供参考。

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（作者单位：云南师范大学数学学院 云南昆明 650500）

（责编：贾伟）