用增元法和主元法求解代数题

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在解代数问题中，消元法与换元法是两种极其常用的方法，这里介绍另外两种在化简求值时十分有用的方法：增元法与主元法，请看下面几则实例

一、增元法

例1：计算：

1+ + + ÷ + + + -1+ + + + × + + 。

解：令a= + + ，b= + + + 。

则原式=（1+a）b-（1+b）a=b+ab-a-ba=b-a= 。

例2：已知P= ，Q= ，则P、Q的大小关系为（ ）

A.P>Q B.P=Q

C.P

解：令x=22012.则P= ，Q= 。

（方法一）P=1- ，Q=1- ，P>Q。

（方法二） = =1+ >1。

又P、Q>0，P>Q。

例3：已知abc

A.P>0 B.P=0

C.P

解：由abc

选B。

例4：求方程 + =12的实数解的个数。

解：设a= ，b= ，

则a2=x+19，b3=x+95，

a+b=12 ①

b3-a2=76 ②

由①②两式联立可得：b3-（12-b）-76=0，

即（b-5）（b2+4b+44）=0。

b2+4b+44=（b+2）2+40>0，

b-5=0，即b= =5，x=30。

经检验x=30是原方程的解，故 + =12的实数解只有1个。

例5：解方程： =x。

解：设 =y，则

31+x=y2 ①

31-y=x2 ②

①-②得：y2-x2=x+y，

即（x+y）（y-x-1）=0，

由分析可知x>0，y>0，

y=x+1 ③

将③代入②中得：31-x-1=x2，

即x2+x-30=0，

解得：x1=5，x2=-6（舍去）.

经检验x=5是原方程的解。

二、主元法

例6：已知a为非负整数，若关于x的方程2x-a -a+4=0至少有一个整数根，则a的可能取值范的个数是 。

解：视a为主元，则原方程为：（ +1）a=2x+4。

+1>0，a= 。

又a为非负整数，2x+4≥0，x≥-2，

由 的意义可知：x≤1，

-2≤x≤1。

当x=-2时，a=0；

当x=-1时，a不是整数，舍去；

当x=0时，a=2； 当x=1是地，a=6。

所以a的可能取值的个数是3个。

例7：求出方程3y2+（x-1）y+2=0的所有整数解。

解：由分析可知y≠0，故可视x为主元，

则有：y（y-1）=-3y2-2，即x=-3y- +1。

x、y均为整数。

y=-2，-1，1，2；x=8，6，-4，-6，

所求的整数解（x，y）为：（8，-2），（6，-1），（-4，1），（-6，2）。

例8：已知关于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一个实数根，则a的取值范围是 .

解：以a为主元，原方程为：a2-（x2-2x）a+x3-1=0，（a-x+1）（a-x2-x-1）=0。

则a-3+1=0 ①或a-x2-x-1=0 ②

由①得x=a+1。

由于原方程有且仅有一个实数根，故当方程②有两个不相等的实数根，显然不合题意。而当方程②有两个相等实数根时，a= ，x= ，由x=a+1得x= ，从而原方程出现两个不相等的实数根，不合题意。

可见方程②只能无解。从而a< 。

例9：求满足方程y4+2x4+1=4x2y的所有整数对（x，y）= .

解：原方程可视为关于x2的一元二次方程，

即2x4-4yx2+y4+1=0，则Δ=16y2-8（y4+1）=-8（y2-1）2。

由题意知原方程有整数解，故Δ为非负的完全平方数，所以y2-1=0，即y=±1；

当y=1时，x2=1，即x=±1；

当y=-1时，x2=-1，此时无实数根，所以满足条件的整数对：（x，y）=（±1，1）。

例10：证明：对于任意整数a、b，方程组x+y+2z+2t=a （1）2x-2y+z-y=b （2）总有整数解x，y，z，t。

证明：视x，y为主元

由（1）×2+（2）得：x= （2a+b-5z-3t） （3）

由（1）×2-（2）得：y= （2a-b-3z-5t） （4）

取z=-2a，t=7b分别代入（3）、（4）两式，

则得x=3a-5b，y=2a-9b。

a，b为任意整数，x，y，z，t亦均为整数，故原命题成立。