航空重力测量数据向下延拓的球内Dirichlet方法

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[摘要]航空重力测量是一种新型的重力测量技术，它以飞机为载体，综合应用重力传感器、GPS、高度传感器、姿态传感器等设备测定近地空间重力加速度。由于航空重力测量得到的是在航线高度上的重力异常值，而地重力学惯用的是地面或大地水准面上的重力异常，要将航空重力测量得到的数据归算到地面或大地水准面上然后才能使用。本文主要是研究航空重力测量数据向下延拓的精度，先将地面数据向上延拓到空中，得到航空重力测量数据，再用向下延拓的球内dirichlet方法将空中数据延拓到地面，然后进行精度评定，衡量航空重力测量数据向下延拓的球内Dirichlet方法的可行性。

[关键字]地球半径 泊松积分 边值问题 向下延拓 向上延拓

[中图分类号] P631.1+25 [文献码] B [文章编号] 1000-405X（2013）-5-163-2

1概述

近几十年来，航空重力测量一直是国内外重力测量研究的热点。航空重力测量得到的是在航线高度上的重力异常值，而地重力学惯用的是地面或大地水准面上的重力异常，要将航空重力测量得到的数据归算到地面或大地水准面上然后才能使用。本文主要是研究航空重力测量数据向下延拓的精度，方法是先将地面数据向上延拓到空中，得到航空重力测量数据，再用向下延拓的球内Dirichlet方法将空中数据延拓到地面，然后进行精度评定，衡量航空重力测量数据向下延拓的球内Dirichlet方法的可行性。

2空中重力异常向下解析延拓的基本方法

空中重力异常向下解析延拓的基本方法是求解Poisson方程，称为逆Poisson方法。具体解法有最小二乘配置法、迭代法、直接代表法、梯度法、点质量法等。这里主要讨论航空重力测量数据向下延拓的球内Dirichlet方法。将航空测量数据归算到相同的航线高度上，得到测线上的重力异常gh。根据位理论的球外Dirichlet问题解法，gh与地面（过地面点的水准面）重力异常g之间的关系可由Poisson积分公式表为：

其中，σ 是半经为R的球面，r=R+h ， 为空中极算点到球面流动的距离。将空中及地面重力异常转化为格网平均值，方程式（1）可以表示成线性方程组：

其中，gih表示已知的第i 个空中重力异常，gj是地面上规则分布的第j个重力异常，系数 ，空中计算点到球面流动的距离 ， 。这样即可由 和 的坐标计算出aij。当n≥m 时，解线性方程组（2）就可以由空中重力异常gih求出地面上的重力异常gj。

3实例分析

3.1高度100m

3.1.1向上延拓100m

航空重力异常向上延拓的公式，即

为了求取100m处的具体值，需将（1.01）式转化成离散的使用模型，即

其中 ，

这里取dθ为2′ ，dλ 为2′ 。θ=80°λ=10° θ=θ+（i-0.5）dθ λ=λ+（i-0.5）dλ；

该式使用于任意高度的向上延拓，因此取h为100m代入公式（3）即可求得100m处空中点的重力异常，用程序解决，空中重力异常数据画图如下：

3.1.2向下延拓100m

考虑到乡下延拓100m时距离比较近，模型误差的影响相对较小，可以直接用Dirichlet法

为了求取向下延拓100m处的地面值，需将（4）式转化成具体的求解公式，即

用程序解决将获得的地面数据画图得

3.2高度10000m

3.2.1向上延拓10000m

公式和理论与向上延拓100m都一样，只需要将100m改成10000m即可，这里直接贴结果图

3.2.2向上延拓10000m

用Dirichlet法，画图得

4总结分析

4.1100m图形对比

将100m的原始图形，经过向上延拓和向下延拓后得到的图形以及它们的差值图形列出，如下：

比较后可知，100m时向下延拓误差控制在0.8毫伽范围之内，符合精度要求。

4.210000m图形对比

将10000m的原始图形，经过向上延拓和向下延拓后得到图形以及它们的差值图形列出，如下：

比较后可知，10000m时向下延拓误差达到20毫伽，延拓造成的误差较大。

5结束语

根据以上讨论，得出结论，即航空重力测量数据向下延拓的球内Dirichlet方法对距离为100m时误差不大，但距离为10000m时误差太大，说明航空重力测量数据向下延拓的球内Dirichlet方法对距离较近的向下延拓比较实用，而对距离稍大的向下延拓误差太大，不可以使用。