全等转相似 比值易相见

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我们常常会发现一类中考题：先给出特殊图形（如正方形、等边三角形）或特殊情形下线段的相等关系（让读者给出证明理由），然后弱化图形（当然图形之间具有种属关系，如变为矩形、菱形）或条件，探究原来两条线段的比值. 解决这类问题的思路就是沿着原来的特殊情况思考，看原来的全等三角形的全等关系是否还成立，若不成立，试一试能否证明它们相似.

小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：

（1）如图1，在正方形ABCD中，作AE交BC于点E，DFAE交AB于点F，求证：AE=DF.

（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且EFGH，求的值.

（3）如图3，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F分别在AD，BC上，且EFGH，求的值．

（1）全等三角形是我们证明线段相等的一个重要方法，为此我们只要寻找到ABE与DAF全等的条件，问题便可获解. 由DFAE知∠AEB=90°－∠BAE=∠AFD，又因为AB=AD，∠ABE=∠DAF =90°，所以ABE≌DAF. 所以AE=DF．

（2）借助平移可以将问题（2）转化为问题（1）解决. 为此可过点A作AM∥EF交BC于点M，过点D作DN∥GH交AB于点N（如图4），由平行四边形的性质容易得到AM=EF，DN=GH．由（1）知，ADN≌BAM，所以AM=DN. 所以EF=GH，即=1．

（3）如图5，作AM∥EF交BC于点M，作DN∥GH交AB于点N，则AM=EF，DN=GH． 因为EFGH，所以AMDN. 所以∠AMB=90°－∠BAM=∠AND. 又因为∠ABM=∠DAN=90°，所以ABM∽DAN. 所以==． 所以=．

本题解决问题的思维方法渗透了转化思想，转化的方法是利用线段的平移变换，平移的目的是溯本求源，构造一对与全等对应的相似三角形，从而求出线段的比值.

（2011山东临沂）如图6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．

（1）求证：EF=EG.

（2）如图7，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

（3）如图8，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a，BC=b，求的值．

（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB. 又由正方形的性质，可利用“ASA”证得RtFED≌RtEGB，问题得证.

（2）可过点E分别作BC，CD的垂线，垂足分别为H，I，然后利用“ASA”证得RtFEI≌RtGEH，问题得证.

（3）可过点E分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M，N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得CEN∽CAD，CEM∽CAB. 又由有两角对应相等的三角形相似，证得GME∽FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

（1）因为∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，所以∠DEF=∠GEB. 又因为ED=BE，所以RtFED≌RtEGB. 所以EF=EG.

（2）成立，理由如下：如图9，过点E分别作BC，CD的垂线，垂足分别为H，I，则EH=EI，∠HEI=90°. 因为∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，所以∠IEF=∠GEH. 所以RtFEI≌ RtGEH. 所以EF=EG.

（3）如图10，过点E分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M，N，则∠MEN=90°，所以EM∥AB，EN∥AD．所以CEN∽CAD，CEM∽CAB. 所以=，=. 所以= ，即==. 因为∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，所以∠GEM=∠FEN. 因为∠GME=∠FNE=90°，所以GME∽FNE. 所以=. 所以=.

本题的思维方法，是以问题（1）的思考方法及图6的图形结构为基本框架，把问题（2）和问题（3）通过作辅助线构造出全等三角形或相似三角形，然后“按图索骥”，思维拾级而上触及问题的本质，这同样渗透转化的数学思想及数形结合思想. 此题综合地考查了正方形和矩形的性质，以及全等三角形和相似三角形的判定与性质．

如图11，四边形ABCD是正方形，点G是CD边上的一个动点（点G与C，D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE． 我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想图11中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系.

②将图11中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图12或图13的情形． 请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图12证明你的判断．

（2）将原题中的正方形改为矩形（如图14~16），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k>0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图15为例简要说明理由．

（1）①BG=DE，BGDE. ②BG=DE，BGDE仍然成立. 对于图12来说，证明如下：因为四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，所以BC=CD，CG=CE， ∠BCD=∠ECG=90°. 所以∠BCG=∠DCE. 所以BCG≌DCE（SAS）. 所以BG=DE，∠CBG=∠CDE. 又因为∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，所以∠CDE+∠DHO=90°. 所以∠DOH=90°. 所以BGDE.

（2）BGDE成立，BG=DE不成立， 此时=. 简要说明如下：因为四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，且AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka(a≠b，k>0)，所以 ==，∠BCD=∠ECG=90°. 所以∠BCG=∠DCE. 所以BCG∽DCE. 所以==. 所以∠CBG=∠CDE. 又因为∠BHC=∠DHO， ∠CBG+∠BHC=90°，所以∠CDE+∠DHO=90°. 所以∠DOH=90°. 所以BGDE. 从上述图形对本质属性探索的过程中，可以发现，每道题至少有两个问，第一问是猜想或证明两条线段的数量关系或位置关系，并探究结论成立的理由，第二问是将原图形中某一部分进行变换（平移、旋转等），使图形位置发生变化，产生新的问题情景，再去继续探究新情景中原结论是否成立. 或者类比、联想，即根据事物相同或相似的属性用“种属”相同几何图形去替换，进行拓展、推广，探究原来性质的变与不变. 这类问题实质上是考查原来论证的思路和方法是否可行. 解决此类问题应利用图形运动变化中某一时刻“静止”的位置，挖掘出其中的“变与不变的因素――全等与相似”，沿着设置的“路标”，添加适当的辅助线，按图索骥，方能以“不变”应“万变”，获得问题的答案.