让思考成为常态

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在小学高年级数学教学中，我们发现学生数学学习的差异较低年级时更为显著。有的孩子在解决问题时沉着冷静，不急不躁，即使遇到从未见过的题目，也能抽丝剥茧逐步将题目破解。与之相反，有些孩子却连会做的题目也常常做错。除去其中智力因素外，学生对于数学学习的差别主要是其思考问题方式和习惯的差异。记得数学特级教师孙维刚老师对数学学习有这样一种见解：“老师教给你的东西，就是过了几年，你把数学知识全部忘掉后，还剩在你脑子里的东西。”那么，剩下的是什么呢？就是思维，而这种思维与孩子后续解决问题的能力是紧密相关的。所以，在数学教学过程中，教师不能只是简单化地传授知识，更重要的是教会学生如何进行数学思考，如何运用数学的眼光和思维去发现问题、提出问题，直到最后能够顺利地解决问题。下面以教学实例为载体，对小学数学课堂教学中培养学生数学思考谈几点体会。

一、关注对数学问题的创设，唤起学生的数学思考

数学问题的产生源于人类实际生活的需要，这类问题可称为现实数学问题。但是在数学教学中，尤其是引入新课时使用的大量问题情境，实际是由于数学学习的需要而编派出来的，这类问题可称为学校数学问题。创设什么样的数学问题，才有助于唤起学生的数学思考，并点燃学生思考的热情之火，就显得尤为关键。

如，教学《用方向和距离描述物体的位置》一课时，教师设计了如下问题情境。

师：有一艘护航舰巡航到货轮附近，（见图1）你能试着说一说这艘护航舰在货轮的什么方向？

生：在货轮的东北方向。

师：我们在描述物置时，通常以南、北方向为基准，再看偏东还是偏西。东北方向也就是北偏东方向，所以这艘护航舰在货轮的……

生：北偏东方向。

师：这时，一艘海盗船逐渐接近，怎么办？（见图2）

生：让护航舰打他们。

师：好，现在任命你们为护航舰舰长，下令射击吧！

（护航舰开始向海盗船射击，结果两次开火都没打中，一次在海盗船的西侧，一次在海盗船的东侧。）

师：刚才两次都没打中，那怎样才能打中呢？

请舰长们讨论一下，说说你的想法和理由。

讨论交流时引导学生概括：1.要以护航舰为观测点来观察海盗船的位置；2.需要知道海盗船所在位置的角度和距离，才能精确地打击海盗船。

师追问为什么，适时引导学生理解：知道角度才能明确打击目标在南偏西40°的这条射线上，进一步知道了距离就能将打击目标点锁定。（见图3）

在上面的案例中，教师精心设计了“护航舰打击海盗船”这一情境，让学生始终兴趣盎然，置身其中，并在教师恰当引导下自主发现，要解决“瞄准海盗船并射击成功”这个问题，就是要解决“如何准确描述海盗船的位置”这一数学问题，进而通过小组讨论明确要达到更加精确描述物体的位置，就必须要知道角度和距离才行。这样的教学设计让学生充分体会到生活中的一些现实问题，在解决时都需要借助于数学知识来思考，而迫切希望通过数学思考来解决问题的态度是学生自主产生的，绝不是教师强加。其实很多数学知识都是人类在生产、生活中遇到急需解决的问题后，通过自己的智慧研究得来的。教学时教师如果能将生活问题与数学问题紧密联系起来，学生数学思考的热情就很容易被唤醒。

二、关注对解决过程的表达，完善学生的数学思考

在平时的教学中我们会发现有些孩子会解决问题，可是不能用语言简洁清晰地表达自己的思维过程。可是语言是思维的载体，数学语言是数学思维的载体。新课程标准中明确指出，学生在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，要能够发展合情推理和演绎推理能力，并能清晰地表达自己的想法。而“观察、实验、猜测、验证、推理与交流”等行为及思维形式都得由语言作为手段来进行，要依靠语言来显示。所以教师必须要培养学生使用数学语言的能力，才能让学生“清晰地表达自己的想法”，才能进一步提高学生分析与解决问题的能力。

如，教学《解决问题的策略――倒推》有如下片段。

出示：两杯果汁原来一共有400毫升，如果从甲杯倒入乙杯40毫升，这时两杯果汁就同样多。两杯果汁原来各有多少毫升？

师：从题目中你知道哪些信息？

生1：两杯果汁共有400毫升，不管怎么倒总量都是400毫升，没有变化。

生2：从甲杯中倒入乙杯40毫升，这时两杯果汁同样多，说明现在每杯都有200毫升的果汁。

师：你准备怎样解决这个问题？

生：我想先求出两个杯子现在的果汁，再将它们倒回去算出原有的果汁。

师：再倒回去是什么意思，你能具体说一说吗？

生：现在两杯果汁都是200毫升，从乙杯倒出40毫升，就是乙杯原有的果汁量，再在甲杯中倒入40毫升，就是甲杯原来有的果汁量。

师：你说得很清楚，让我们看看你的想法是否可行。（课件演示：动态呈现倒果汁的过程）看来你的方法可以解决这个问题。

师：同桌互相说说倒果汁的过程，再试着自己解决这个问题。（学生自做，然后汇报）

师：谁来给大家展示一下自己的方法？

生1：我列的算式是400÷2=200（毫升），先求出现在每杯的果汁量，再用200-40=160（毫升），就是原来乙杯的果汁，200+40=240（毫升）就是原来甲杯的果汁量。

师：这个“先……，再……”用得好，让你把自己思考的过程说得很清楚。

生2：我是用列表加画图的方法来解决这个问题的。（展示下表）

师：他是用表格的方式来呈现的，你觉得怎样？

生3：我觉得用表格的方法也很好，让人一看就明白。

案例中学生所说的“再倒回去”其实就是倒推的策略，但如何将自己的思路说得明白，就需要教师的引导和训练，如用好“先……，再……”这样的语言，就是一个途径。作为教师，我们知道运用数学语言来陈述观点是数学学习的一个重要方面，学好数学语言是学好数学的关键之一。因而提高学生的数学思维能力，首先必须要训练其数学语言的表达能力。在平时的课堂上，教师首先要鼓励学生“敢说”，每节课上坚持让学生说想法，说思路，说理由；然后再教学生“能说”，也就是尽可能将思路说得清楚，说得完整，说得有条理；最后让学生达到“会说”，即能熟练运用数学语言逻辑清晰地阐述自己的观点。当学生经历“敢说”――“能说”――“会说”这一过程后，在数学课堂上就会表现得更加勤于思考，并且勇于表达，从而进一步促进学生思维能力的发展。

三、关注对过程和结果的反思，提升学生的数学思考

对于反思自己的解题过程和结果，著名数学教育家波利亚在他的《怎样解题》一书中对此进行了精彩论述：“你能检验这个结果吗？你能检验这个论证吗？你能以不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？”这些设问就是在逐步引导学生从多个角度去思考、体会自己探寻问题解法的途径，促使学生在不断反思中，加强数学知识和技能的相互沟通，提升数学思考的价值。

如，教学“圆柱的体积”后的一个练习片段：

师：圆柱的体积等于底面积乘高，要知道哪些条件，你就能求出圆柱的体积？

生1：知道圆柱的底面积和高。

生2：知道圆柱的底面半径和高。

生3：知道圆柱的底面直径或周长和高。

师：知道圆柱的侧面积和底面半径，你能求出圆柱体积吗？

出示：一个圆柱的侧面积是314平方厘米，底面半径5厘米，它的体积是多少？

学生独立思考，根据前面已有的学习经验，通过侧面积求出圆柱的高，314÷（5×2×3.14）=10（厘米），再计算出体积，52×3.14×10=785（立方厘米）。

师：如果把圆柱的侧面积改为“200平方厘米”，你还能计算出它的体积吗？

生（很自信地回答）：可以

可当学生继续沿用之前的方法时，却发现200÷（5×2×3.14）不好计算，这时不少学生感到了困难。

师：有些同学感到困难，放弃了对这个问题的思考，真的没有办法解决吗？

引导学生观察圆柱转化成长方体的实物模型，改变其摆放的位置，有些学生在这一观察中好像有了发现，皱起的眉头慢慢舒展开来。

生：可以用侧面积的一半乘半径。

师：为什么？你能具体给大家介绍一下吗？

生：（结合教具见图5）将圆柱转化成长方体后，我们可以这样摆，将侧面积的一半作为长方体的底面积，这时长方体的高就是圆柱的半径，根据长方体的体积等于底面积乘高，就可以得出用侧面积的一半乘半径也是圆柱的体积。

在这位同学配合教具的演示下，台下学生的思路豁然开朗，脸上一个个出现了恍然大悟的神情。

师：这个方法真巧妙，你们听懂了吗？那知道圆柱的侧面积和半径，怎样算出体积？

生：我会算，用200÷2×5=500（立方厘米）就是这个圆柱的体积。

教学中，我们应有意识地培养学生在解决问题之后，回顾自己完整的解题过程，甚至是心理上的变化；分析其中遇到了哪些问题，是否走了弯路，以及为什么会走这些弯路，有没有规律性的经验可以总结；我的解题思路与老师或其他同学的思路有什么不同，其中的差异是什么，其原因又是什么；自己在遇到问题时有没有进行调整。这些细致且个性化的反思，就是对学生数学思考能力的培养。在上面这个练习片段中，教师巧妙设置问题条件，让第一次提供的数据方便计算，而第二次提供的数据计算起来却很麻烦，这就促使学生主动反思自己解题的过程，重新调整思路，换个角度来思考。在这一过程中，学生的思维因为碰撞产生出智慧的火花，因为反思而触及数学知识的实质，让数学思考走向更深的层次。

总之，教给学生思考问题的方法，培养他们思考问题的能力，让每一孩子都爱思考、会思考，将思考成为一种习惯和常态，学生必将受益终身。

（段薇薇，南京市琅琊路小学，210024）