巧妙构造 旧貌换新颜

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构造法是一种创造性的数学方法. 其解题实质是通过对条件和结论的分析，构造出辅助元素（这种辅助元素可以是图形、方程或方程组、函数、等价命题等），架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决. 构造法一般可以应用在求函数的值域和最值、解三角形、证明不等式以及求解恒成立问题等方面． 虽然构造的方法很多，但它们并不是独立的，并且使用时没有固定的模式，需要根据具体的问题采用相应的方法，因此技巧性很强． 此外，构造法的运用还需要借助联想法、化归法等，体现了数学思维的灵活性和创造性． 下面笔者通过几个不同的例子介绍构造法的应用．

一、巧构方程妙证不等式

例1已知p3+q3=2，求证：p+q≤2．

证明：由p3+q3=2，

得（p＋q）3－3pq（p＋q）＝2，

令p＋q＝k，则k3－3pqk＝2，

得pq＝（k≠0），

设p、q为一元二次方程的两个根，故有x2－kx＋＝0，

因为Δ＝k2－4・≥0，

所以≥0，即≤0，

所以由k（k－2）（k2＋2k＋4）≤0，

k≠0，

解得0＜k≤2，

故p＋q≤2成立．

点评：如何将条件向结论化归是解决问题的关键. 就本题而言，如何将条件化为p＋q的关系式是解决问题的突破口． 由已知条件容易得到p，q的和与积的关系式，如果将p＋q看作一个整体k，则pq也可以用k表示. 由此联想到方程根与系数的关系，便可构造出一个方程，利用“方程有解⇔Δ≥0”，即可求出k的范围，使问题得以解决.

二、巧构向量妙证不等式

例2设a，b，c，d∈R，求证：ad＋bc≤・．

证明：设m＝（a，b），n＝（d，c），

则m・n＝ad＋bc，

m

＝，

n

＝，

由性质m・n≤

m

・

n

，可得ad＋bc≤・，故命题得证.

点评：根据需证式子的特点，构造向量，并利用向量的数量积与向量模之间的关系，使命题得证． 用此法解题时需要观察题目是否能构造出两个向量，再结合向量模的运算以及向量的数量积的性质等知识，向要求解的问题靠拢．

三、巧构不等式妙证不等式

例3若a，b∈R+，a＋b＝2，求证：＋≤2．

证明：＝≤・＝（a＋2），

同理，≤（b＋2），

所以＋≤（a＋2）＋（b＋2）＝2，故命题得证.

点评：由a，b在已知条件中的对称性可知，只有当a＝b＝1，即2a＋1＝2b+1=3时，等号才成立，所以解题时可构造局部不等式． 证明本题这样的不等式，若从整体上考虑则难以下手，如果构造若干个结构完全相同的局部不等式，并逐一加以证明，再利用同向不等式相加的性质，便可使命题得证．

四、巧构斜率妙求函数值域

例4求函数f（x）＝的值域．

解析：令μ＝－cosx，θ＝sinx，则f（x）＝，且μ2＋θ2＝1表示单位圆．

此时，令k＝f（x），则k表示连结定点P（2，3）与单位圆上任意一点（μ，θ）所得的直线的斜率． 显然该直线与圆相切时，k取得最值. 此时，圆心（0，0）到直线θ－kμ－（3－2k）＝0的距离为1，即＝1，所以k＝2±．

故2－≤k≤2＋．

点评：由函数f（x）的形式，可以联想到直线的斜率公式，于是将f（x）构造成斜率公式的形式，即将f（x）看作定点（2，3）与动点（－cosx，sinx）连线的斜率，故f（x）的值域为斜率的范围． 此法适用于分式三角函数求值域，且分子和分母一个是sinx，另一个是cosx的情况．

五、巧构函数妙解“恒成立”

例5若对一切实数x，不等式≥1均成立，求实数m的取值范围．

解析：由题意，知m＞0，因此原不等式恒成立等价于m≤＝x2＋＝（x2＋2）＋－2恒成立，令t＝x2＋2，则y＝t＋（t≥2），即y＝t＋在［2，＋∞）上为增函数，所以t＝2，即x=0时，ymin＝4． 要使不等式m≤（x2＋2）＋－2恒成立，只要m≤ymin－2，所以m≤2，又m＞0，故实数m的取值范围是0＜m≤2．

点评：求解恒成立问题时，可构造同学们熟悉的函数类型，然后根据函数的性质解题． 就本题而言，首先由观察题干可得m为正数，接着分离变量，并构造函数y＝x＋，最后利用函数的单调性求出m的范围． 求解这类问题时经常要用变量分离的方法，而应用这一方法的关键是分清参数与变量．

六、巧构数列妙解三角函数

例6已知sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π），求tanθ的值．

解析：由条件sinθ＋cosθ＝，可知sinθ，，cosθ构成一个等差数列．

设其公差为d，则sinθ＝－d，cosθ＝＋d，由sin2θ＋cos2θ＝1，可得

-d2＋

+d2＝1，解得d＝±．

又因为θ∈（0，π），所以sinθ＞0，故d＝舍去．

所以d＝－，则sinθ＝，cosθ＝－．

故tanθ＝＝－．

点评：因为sinθ，cosθ之间存在关系sin2θ＋cos2θ＝1，所以本题利用等差数列的性质，巧妙地构造了sinθ，，cosθ这样一个等差数列，从而解出sinθ，cosθ的值． 注意，在求解后还应检验三角函数的取值范围．

七、巧构定值妙求最值

例7已知a＞0，b＞0，且a2＋＝1，求a的最大值．

解析：因为a2＋＝1，所以2a2＋b2＝2，

a＝≤・＝・＝，当且仅当2a2＝1＋b2，

a2＋

＝1， 即a

＝，

b

＝ 时取“＝”，故a的最大值是．

点评：若对a直接使用均值不等式，则有a≤，显然a2＋b2不是定值，不易求解. 观察条件a2＋＝1，可得2a2＋b2＝2，于是需要对a2与b2的系数进行配凑，构造出2a2＋b2的形式，利用定值求解. 同学们在应用均值不等式求最值时，应使所构式子的和或积为定值，而此时往往需要运用拆项、添项、变系数等变形技巧．

八、巧构图形妙证三角函数

例8设α∈0

，，试证明：sinα＜α＜tanα．

证明：在平面直角坐标系中作单位圆（如图1），即r＝OA＝1. 设角α以x轴的正半轴为始边，终边与单位圆相交于P．

[y][P][T][x][A][M][O][α]

图1

SOPA＝OA・MP＝MP，

S扇OPA＝r2・α＝α，

SOAT＝OA・AT＝AT，

又因为SOPA＜S扇OPA＜SOAT，

所以MP＜α＜AT，

由三角函数线可知sinα＝MP，tanα＝AT，故sinα＜α＜tanα.

点评：本题首先构造了适当的图形，接着利用三角形与扇形的面积关系构造出不等关系，最后把有向线段转化为单位圆中的三角函数线，从而使命题得证． 由于直观的图形有助于思考，所以很多问题在构造出适当的图形后，就能化难为易，化繁为简．