例析数列易错问题

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数列是高中数学的重要内容，也是高考的重点．数列题主要以等差数列和等比数列这两类基本数列为载体，考查数列的概念、通项公式以及求和公式等的应用，基础性较强，综合程度较小．要做好数列题，掌握数列的基础知识固然重要，灵活应用函数与方程、分类讨论等思想方法也不可或缺. 此外，还需注意常数数列、首末项、总项数等，以免答题时功亏一篑.

例1在等差数列｛ａｎ｝中， ａ1＝2且ａ1，ａ3，ａ6成等比数列，求｛ａｎ｝的前ｎ项和Sｎ．

错解： 设ａｎ=a1+（ｎ-1）ｄ＝2+（ｎ-1）ｄ，则ａ3＝2+2ｄ，ａ6＝2+5ｄ. 因为ａ1，ａ3，ａ6成等比数列，故=ａ1•ａ6 ，得（2+2ｄ）2＝2（2+5ｄ），解得ｄ＝. 所以an=n+，数列｛ａｎ｝的前n项和Sn=（ｎ2+7ｎ）．

错因分析： 本题主要考查等差数列和等比数列的概念、通项公式以及等差数列的求和公式，要求我们能熟练地运用通项公式an来建立方程．在解方程（2+2ｄ）2＝2（2+5ｄ）时，容易遗漏一解：d=0，此时an=2，数列｛ａｎ｝是特殊的等差数列――常数数列，显然也是符合题意的.

正解：由“错解”可得（2+2ｄ）2＝2（2+5ｄ），解得ｄ＝0或ｄ＝，所以an=2或an=n+，所以数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ或Sn=（ｎ2+7ｎ）.

评注：在解答等差数列题时，公差ｄ＝0的常数数列也可能满足题意，注意不要遗漏.

例2Sｎ是等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，若S3 ∶ S2＝3 ∶ 2，求数列｛ａｎ｝的公比q．

错解： 设an=a1•qn-1，则Sn=，得S3=，S2=. 因为＝＝，所以2q3-3q2+1＝0，即（ｑ-1）2•（2ｑ+1）＝0. 由于ｑ≠1，所以ｑ＝-．

错因分析： 等比数列｛ａｎ｝的求和公式Sn=只适用于ｑ≠1的情形． 上述解法遗漏了ｑ＝1的情形．

正解： 设an=a1•qn-1. 当ｑ＝1时，an=a1，S2=2a1，S3=3a1，满足题意． 当ｑ≠1时，由“错解”可得，ｑ＝-． 综上可得ｑ＝1或ｑ＝-．

评注： 在解答等比数列题时，容易遗漏公比ｑ＝1的情况，解题时应提醒自己对q的取值情况进行分类讨论.

例3等差数列｛ａｎ｝的通项公式an=25-5n，求｛ａｎ｝的前n项和．

错解： Sｎ＝ａ1+ａ2+…+ａｎ＝-ａ1-ａ2-…-ａｎ＝．

错因分析： 数列｛ａｎ｝中有正项也有负项，因此在求｛ａｎ｝的前n项和时应进行分类讨论．

正解： 由ａｎ≥0得ｎ≤5，故｛ａｎ｝的前5项为非负项，所以当ｎ≤5时，Sｎ＝ａ1+ａ2+…+ａｎ＝ａ1+ａ2+…+ａｎ＝；当n≥6时，Sｎ＝ａ1+ａ2+…+ａｎ＝ａ1+ａ2+…+ａ5-ａ6-…-ａｎ-1-ａｎ＝2（ａ1+ａ2+…+ａ5）-ａ1-ａ2-ａ3-ａ4-ａ5-ａ6-…-ａｎ＝100-. 综上可得Sn=，ｎ≤5；100-，n≥6.

评注： 解此题时，容易疏忽｛ａｎ｝中各项的正负情况. 解答含有绝对值号的数列题往往需要分类讨论.

例4数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Sｎ，Sｎ＝（ａｎ-1） （ｎ∈N*）． （1） 求｛ａｎ｝的通项公式；（2） 设bn=an•（2ｎ+1），求｛ｂｎ｝的前ｎ项和Tｎ．

错解： （1） an=Sn-Sn-1=（ａｎ-1）-（ａｎ-1-1），得an=3an-1，故数列｛ａｎ｝是等比数列，an=3n.

（2） bn=an•（2ｎ+1）＝（2ｎ+1）•3n. Tn=b1+b2+b3+…+ｂｎ＝3×3+5×32+7×33+…+（2ｎ+1）•3n，等号两边都乘以3，得：3Tn=3×32+5×33+…+（2ｎ-1）•3n+（2ｎ+1）•3n+1，于是2Tn＝3Tn-Tn＝（2ｎ+1）•3n+1-（3×3+2×32+2×33+…+2×3ｎ）＝（2ｎ+1）•3n+1-9+2×＝（2ｎ+1）•3n+1-3n+2＝（2ｎ-2）•3n+1，故Tｎ＝（ｎ-1）•3n+1．

错因分析： （1） 通过an＝Sn-Sn-1求得ａｎ与ａｎ-1的递推关系、进而求an时，要注意公式an＝Sn-Sn-1的使用条件是ｎ≥2． 错解没有讨论n=1的情形，没有求出数列的首项a1． 要避免此类错误，应尽量将数列｛ａｎ｝的前几项逐一写出进行验算.

（2） 通项为等差乘等比数列的求和一般都采用错位相减法，但是作差后成等比数列的项往往只有n-1项，同学们在计算中容易误认为有n项. 一般可以通过假设n=2，n=3来检验一下Sn是否正确，从而避免不必要的错误．

正解： （1） 当n=1时，a1＝S1＝（a1-1），得a1=3；当ｎ≥2时，an＝Sn-Sn-1=（an-1）-（ａn-1-1），得an=3an-1，所以数列｛ａｎ｝是首项a1=3，公比q=3的等比数列，即an=3n.

（2） bn=an•（2ｎ+1）＝（2ｎ+1）•3ｎ. Tｎ＝ｂ1+ｂ2+ｂ3+…+ｂｎ＝3×3+5×32+7×33+…+（2ｎ+1）•3n，则3Tｎ＝3×32+5×33+…+（2ｎ-1）•3n+（2ｎ+1）•3n+1，所以2Tｎ＝3Tｎ-Tｎ＝（2ｎ+1）•3n+1-（3×3+2×32+2×33+…+2×3ｎ）＝（2ｎ+1）•3n+1-9+2×＝（2ｎ+1）•3n+1-3n+1＝2ｎ•3n+1，得Tｎ＝ｎ•3n+1．

评注： 解此题时，容易疏忽公式an＝Sn-Sn-1的应用条件是ｎ≥2. 解答数列问题时要特别关注首、末项以及对求得结果的检验.