图形变换易错笔记

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已知线段AB=CD，AB与CD相交于点O，且∠AOC=60°，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是（ ）

A. AC+BD

B. AC+BD=AB

C. AC+BD≥AB

D. 不能确定

A或B

本题考查平移的性质，应抓住平移过程中，对应线段相等，对应点的连线平行且相等两个要点，否则解题无从入手，而三角形三边关系的运用才能比较AC+BD>AB. 如果对题意理解不全面，则易漏掉AC+BD=AB这一情况，造成错解.

AC与DB不平行时，如图1，将AB沿AC平移到CE，连结BE，DE，由平移的特征可知AB=CE，AC=BE. 因为∠OCE=∠AOC=60°，AB=CD，所以CDE为等边三角形，即CD=DE=CE=AB. 因为DB+BE>DE，所以BD+AC>AB. 而当AC∥DB时，BD+AC=AB，故选C.

如图2所示，将边长为a的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正方形的中心O所经过的路径长为_____.

4a.

未弄清中心O所经过的路径长是指O点经过旋转的四段弧长，而不是一条线段.

πa（O点运动的轨迹恰好能拼成一个圆）.

如图3所示，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到A″B″C″的位置.设BC=1，AC=，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是___________（计算结果不取近似值）.

π或π+π.

顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线为和，对应的圆心角分别为120°和90°，与直线l所围成的面积是两个扇形的面积与A′BC″的面积的和，同学们易遗漏A′BC″的面积而致错.

在ABC中，BC=1，AC=，所以AB=2，∠ABC=60°. 所以∠ABA′=120°. 所以S=++×1×=π+π+=π+.

如图4所示，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合. 展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E和点G，连结GF. 有下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③SAGD=SOGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG. 其中正确结论的序号是______.

错填或不全面，如①④，①②等.

没有充分利用翻折这一条件，不能挖掘图中角的度数，不能采用反推的方法判断结论正确与否，就此题而言，错误最多的是结论⑤.

因为在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，所以∠GAD=45°，∠ADG=∠ADO=22.5°. 所以∠AGD=112.5°. 所以①正确.

因为tan∠AED=，又AE=EF

因为AG=FG>OG，AGD与OGD同高，所以SAGD>SOGD . 故③错.

根据题意可得AE=EF，AG=FG，又因为EF∥AC，所以∠FEG=∠AGE. 又因为∠AEG=∠FEG，所以∠AEG=∠AGE. 所以AE=AG=EF=FG. 所以四边形AEFG是菱形，因此④正确.

因为在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中，BE2=2EF2=2GF2=2×2OG2，所以BE=2OG. 因此⑤正确. 答案为①④⑤.

将三角形纸片（ABC）按如图5所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF. 已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是________.

只填或者只填2.

在判定三角形相似，未明确对应关系时，特别注意不要忘了分类讨论，再根据不同的对应关系分别计算要求的线段.

（1）若B′FC∽ABC，此时=. 又CF=BC-BF=BC-B′F，所以可算出B′F的长，即BF的长. （2）若F B′C∽ABC，此时=，同理可以计算出BF的长. 最终答案为或2.

课题：两个重叠的正多边形，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题.

实验与论证 设旋转角∠A1A0B1=α（∠A1A0A2>α），θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图6～图9所示.

（1）用含α的式子表示角的度数：θ3=_______，θ4=_______，θ5=_______.

（2）图6～图9中，连结A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段.若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由.

归纳与猜想 设正n边形A0A1A2…An-1与正n边形A0B1B2…Bn-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…Bn-1绕顶点A0逆时针旋转α（0°

（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数.

（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段. 若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由.

（1）60°-α，α，36°-α.

（2）答案不唯一，选图6，图6中有直线A0H垂直平分A2B1 . 证明如下：因为A0A1A2与A0B1B2是全等的等边三角形，所以A0A2=A0B1 . 所以∠A0A2B1=∠A0B1A2 . 所以A2H=B1H. 所以点H在线段A2B1的垂直平分线上. 所以直线A0H垂直平分A2B1 .

（3）当n为奇数时，θn=-α；当n为偶数时，θn=α.

（4）存在，当n为奇数时，直线A0H垂直平分AB，当n为偶数时，直线A0H垂直平分AB.

很多同学求θ的度数时，不能从旋转中有关角度的变与不变上突破；探究θn的度数与正n边形中被A0H垂直平分的线段时，没有分正偶数边形和正奇数边形两种情形去思考与突破；缺乏归纳、推理的能力也是导致失分的一个重要因素.