矩阵的有理标准型及其应用

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【摘要】本文主要介绍矩阵中的特殊一类——矩阵的有理标准型。围绕矩阵的有理标准的几个主要性质展开研究，包括详细介绍矩阵有理标准型的定义组成原理，总结各种构造方法，拓宽矩阵有理标准型应用等领域。

【关键词】矩阵；有理标准型；线性方程

1、引论

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。Jordan矩阵、Frobenius矩阵等是常用的特殊矩阵。本文重点探讨Frobenius矩阵，也就是矩阵的有理标准型。关于矩阵的标准型有几种：有理标准型，等价标准型，合同标准型，相似标准型，Jordan标准型等。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯（G.Frobenius，1849-1917）的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892年，梅茨勒（H.Metzler）引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。

2、矩阵的标准形

3、矩阵的有理标准型

介绍的矩阵的几个标准型都有一个共同点，都是根据矩阵的核心概念而得来的，都存在一定的规律。在这里，只是简单的介绍它的基本定义，相关性质，及其性质。当然为了达到对矩阵有理标准型的理解的效果，我们采用比较法，先去研究矩阵的其他几种标准型，目的正式为此。最后去介绍它的基本应用，是为了进一步对它的了解，拓宽一下矩阵的视野，可能更多的是提供一种有效地解决方法，达到了矩阵作为一个工具的目的。

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