中考中的因式分解“大观园”
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因式分解是代数式变形的一种重要手段，在中考中占有非常重要的地位.学好因式分解可以为后续将要学习的分式和二次根式的化简以及一元二次方程的解法等知识打下基础，为了熟悉新题型，迎接新挑战，让我们回顾2013年的中考数学，一睹因式分解的“风采”.
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解.判断一个等式变形是不是因式分解，需要注意两点：一看等式的左边是不是多项式；二看等式的右边是不是整式乘积的形式.
例1 （河北卷）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. a（x-y）=ax-ay B. x2+2x+1=x（x+2）+1
C. （x+1）（x+3）=x2+4x+3 D. x3-x=x（x+1）（x-1）
解析 选项A、C右边是多项式，而不是整式乘积的形式，显然不属于因式分解.选项B从整体上看仍然是和的形式，而不是积的形式，因此也不属于因式分解.而选项D左边是多项式，右边是整式乘积的形式，属于因式分解.故答案选D.
由于因式分解是一种恒等变形，判断因式分解的结果是否正确，首先必须保证等式左右两边的结果相等.另外，结果除了要求写成整式的乘积的形式外，还必须写成最简形式，分解必须彻底.如分解因式mn（m-n）-m（m-n）2的结果为m（m-n）（n-m+n），就犯了“结果不是最简形式”的错误；再如分解a3b-ab的结果为ab（a2-1），就犯了“分解不彻底”的错误.
例2 （南昌卷）下列因式分解正确的是（ ）
A.x2-xy+x=x（x-y） B.a3-2a2b+ab2=a（a-b）2
C.x2-2x+4=（x-1）2+3 D.ax2-9=a（x+3）（x-3）
解析 选项A右边去括号后只有两项，显然与左边不相等；选项C右边从整体上看不是乘积的形式；选项D右边去括号后结果为ax2-9a，与左边不相等；而选项B右边去括号后与左边相等，且结果符合因式分解的书写要求.故选B.
因式分解的方法一般有公因式法、公式法和x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）.在实际分解因式时，首先观察各项有无公因式可提，再考虑能否运用公式法或x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解.对于二项式，可考虑运用平方差公式；对于三项式，可考虑运用公式法或x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）.
例3 （益阳卷）因式分解：xy2-4x= .
解析 观察xy2-4x发现有公因式x，提取公因式x后，剩下y2-4，可再用平方差公式分解，得（y-2）（y+2）.因此xy2-4x分解因式的正确结果为x（y-2）（y+2）.故填“x（y-2）（y+2）”.
例4 （恩施卷）把x2y-2y2x+y3分解因式正确的是（ ）
A.y（x2-2yx+y2） B.x2y-y2（2x-y） C.y（x-y）2 D.y（x+y）2
解析 观察x2y-2y2x+y3各项发现它们有公因式y，提取公因式y后，剩下x2-2yx+y2，有三项，符合完全平方公式的特征，可再用完全平方公式分解，得（x-y）2.因此x2y-2y2x+y3分解因式的正确结果为y（x-y）2.故答案选C.
例5 （常州卷）有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片.从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）
A.a+b B.2a+b C.3a+b D.a+2b
分析 边长为a的正方形纸片面积为a2，边长分别为a、b（b>a）的矩形纸片面积为ab，边长为b的正方形纸片面积为b2，要使3种纸片拼成无空隙、无重叠的一个正方形，那么由a2，ab，b2组成的多项式必然是一个完全平方式.
解 由于正方形由三种纸片拼成，正方形的面积必然是由a2，ab，b2组成的完全平方式.联想到两数和的完全平方公式，那么a2和b2的系数必然为完全平方数.而共有3张边长为a的正方形纸片，5张边长为的b的正方形纸片，因此a2的系数只能为1，b2的系数可以为1和4.再根据边长为b的正方形纸片的张数（5张），且要求拼成的正方形的边长最长，这样b2的系数应该取4.因此可以取1张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b的矩形纸片，4张边长为b的正方形纸片，拼成的正方形的面积为a2+4ab+4b2，边长为a+2b.故答案选D.
说明 上面的解法是采用直接求解法.作为选择题，也可以利用排除法.根据边长为a的正方形纸片的张数，首先可以排除选项B、C（a2的系数只能为1）.再根据要求拼成的正方形的边长最长又可以排除选项A.本题表面上看是一道拼图题，实际上是一道因式分解的实际应用题.