化归思想的应用

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化归思想也称转化思想，在中学数学里，化归思想的应用无处不在，当感到思维受阻时，可以换一个角度去思考. 运用转化思想解题，可以提高同学们的数学思维水平和解题能力. 现以2013年中考试题为例加以说明.

一、 化未知为已知

例1 （2013・临沂）对于实数a，b，定义运算“*”：ab=a2-ab（a≥b），

ab-b2（a

例如4*2，因为4>2，所以4*2=42-4×2=8. 若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1*x2=______.

【解析】x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，（x-3）（x-2）=0，解得：x=3或2.

①当x1=3，x2=2时，x1*x2=32-3×2=3；

②当x1=2，x2=3时，x1*x2=3×2-32=-3.

故答案为：3或-3.

【点评】解决新定义类问题，首先应准确理解新定义概念，深刻揭示新定义的内涵和本质，并从中获取新的数学公式、定理、性质、运算法则或解题思路，进而用类比的方法将他们转化为熟悉的知识解决. 这种思想体现了化未知为已知的解题策略.

二、 化数为形

例2 （2013・扬州）方程x2+3x-1=0的根可视为函数y=x+3的图像与函数y= 的图像交点的横坐标，则方程x3+2x-1=0的实根x0所在的范围是（ ）.

A. 0

C.

【解析】依题意得方程x3+2x-1=0的实根是函数y=x2+2与y=的图像交点的横坐标，这两个函数的图像如图1所示，它们的交点在第一象限.

当x=时，y=x2+2=2，y==4，此时抛物线的图像在反比例函数下方；

当x=时，y=x2+2=2，y==3，此时抛物线的图像在反比例函数下方；

当x=时，y=x2+2=2，y==2，此时抛物线的图像在反比例函数上方；

当x=1时，y=x2+2=3，y==1，此时抛物线的图像在反比例函数上方.

故方程x3+x-1=0的实根x0所在范围为：

【点评】本题是把求一元二次方程解的问题转化为求函数图像交点的横坐标问题，解决此类问题时应注意函数与方程可以互相转化，二者结合可优势互补. 利用方程与函数图像之间的关系，可将抽象的问题转化为直观的图形，使解题变得简单.

三、 化局部为整体

例3 （2013・大庆）如图2，三角形ABC是边长为1的正三角形，与所对的圆心角均为120°，则图中阴影部分的面积为______.

【解析】如图2，设与相交于点O，连接OA、OB、OC，线段OA将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及反时针绕点O旋转120°后，阴影部分便合并成OBC，它的面积等于ABC面积的三分之一.

S阴影部分=××12=.

故答案为：.

【点评】通过转化得出阴影部分的面积恰好为ABC面积的三分之一是解答此题的关键. 利用平移、旋转或轴对称化零为整进行思考，要正确把握整体与局部之间的关系，善于发现问题之间的内在联系，揭示转化的规律.

四、 化空间图形为平面图形

例4 （2013・东营） 如图3，圆柱形容器的高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为______m（容器厚度忽略不计）.

解：将圆柱沿其母线剪开，壁虎在圆柱展开图4的矩形两边中点的连线上.过A作关于EF的对称点A′，连接A′B，则线段A′B的长度为壁虎捉蚊子的最短距离，过B作BMAA′于点M，在RtA′MB中，A′M=1.2 m，BM= m，所以A′B==1.3 m，即壁虎捉蚊子的最短距离为1.3 m.

【点评】沿圆柱表面的最短线段长度问题，常常是要将它展开转化成平面图形问题. 本题通过作出关于定直线的对称点，把同侧线段长度和转化为异侧线段长度和，利用“两点之间线段最短”，即可解决问题，轴对称在此起到转化作用.

五、 化不规则图形为规则图形

例5 （2013・长春）探究：如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AECD于点E. 若AE=10，求四边形ABCD的面积.

应用：如图6，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AEBC于点E. 若AE=19，BC=10，CD=6，则四边形ABCD的面积为______.

解：如图5，过点A作AFCB，交CB的延长线于点F.

AECD，∠BCD=90°，四边形AFCE为矩形，

∠FAE=90°，∠FAB+∠BAE=90°.

∠EAD+∠BAE=90°，∠FAB=∠EAD，

又AB=AD，AFB≌AED（AAS），

AF=AE，四边形AFCE为正方形，

S四边形ABCD=S正方形AFCE=AE2=102=100.

如图6，过点A作AFCD，交CD的延长线于F，连接AC.

则∠ADF+∠ADC=180°.

∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC=∠ADF，

ABE≌ADF（AAS），AF=AE=19，

S四边形ABCD=SABC+SACD=BC・AE+CD・AF=×10×19+×6×19=95+57=152.

【点评】将不规则图形割补成规则图形，是求不规则图形面积的常用方法. 问题（1）是通过作辅助线构造出全等三角形，将不规则的四边形转化为正方形；问题（2）是通过作辅助线构造出全等三角形，把四边形转化为同高的两个三角形.

转化就是不断地把一个尚待解决的问题转化为已经解决的问题，把一个复杂问题转化为一个比较简单的问题，这就是数学解题的通法，也是数学解题的有力武器！不断转化，不断向已知靠拢，最终使问题获解，这是转化的精髓.

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）