含参不等式“恒成立”问题的解法初探

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含参数的不等式“恒成立”问题是近几年各地高考命题的热点。这类题型以知识点覆盖广、综合性强、解法灵活多变著称，它经常与函数、数列、导数、几何等知识有机地整合在一起，以各种题型呈现，由于其解答过程需要运用“函数与方程”、“化归与转化”、“分类讨论”、“数形结合”等数学思想，对考生的数学素养、思维品质能起到有效地甄别作用，因而备受命题者青睐，很多学生在遇到这类问题时苦于无从下手。笔者在平时的教学过程中对这类问题作了一个整理与归纳，现提供给大家参考。

一、判别式法

例1 [山东潍坊]已知向量a≠e，|e|=1，对任意t∈R恒有|a－t?e|≥|a－e|成立，则（）

A．aeB．a(a－e)

C．e(a－e)D．(a+e)(a－e)

解：由题设可知|a－t?e|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，即（a－t?e）2≥（a－e）2对t∈R恒成立。

整理得t2?e2－2a?e?t+2a?e－e2≥0。

因为|e|=1，所以|e|2=e2=1。

于是t2－2a?e?t+2a?e－1≥0对t∈R恒成立。

由二次不等式知识可知Δ=4（a?e）2－8a?e+4≤0，即（a?e－1）2≤0。

而（a?e－1）2≥0，所以a?e－1=0，即a?e=1=e2。

移项得e（a－e）=0，即e(a－e)，选C。

[评注]本例是一道涉及向量知识的含参不等式问题，形式较为新颖。它巧妙地将向量知识与不等式知识有机地整合在一起，既考查了向量的模、向量运算等基础知识的掌握情况，又考查了“转化与化归”的数学思想。

二、基本不等式法

例2 [山东临沂4月]已知a、b、c都是正实数，且满足log4（16a+b）=log2ab，则使4a+b≥c恒成立的c的取值范围是。

解：因为a、b∈R+，所以log4（16a+b）=log216a+b=log2ab，即16a+b=ab，两边平方得16a+b=ab。

整理可得16b+1a=1。

又因为4a+b=（4a+b）（16b+1a）=64ab+4+16+ba≥16+20=36，所以使4a+b≥c恒成立的c的取值范围为（0,36]。

[评注]本例的原型题是运用均值不等式求4a+b的最值，4a+b≥c恒成立，则参数c应小于等于4a+b的最小值，而利用对数的运算性质得到条件式16b+1a=1是关键。

三、变换主元法

例3 已知f(x)=mx2-mx—6+m，若-2≤m≤2时，f(x)＜0恒成立，求实数x的取值范围。

解：由已知可得：f(x)=mx2-mx-6+m=m(x2-x+1)-6。

令g(m)=(x2-x+1)m-6，则g(m)是关于m的一次函数，且一次项系数x2-x+1恒大于零。

故g(m)在m∈[-2，2]上递增。

于是g(m)=f(x)＜0在m∈[-2，2]上恒成立当且仅当g(2)=2（x2-x+1）-6＜0即可。

解不等式，得-1＜x＜2，故所求的实数x∈（-1，2）。

[评注]某些含参不等式恒成立问题，在分离参数时会遇到讨论的麻烦，有时即使能分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出，这时可考虑变换思维角度，把变元与参数换个位置，即以参数为主变元，再结合其他知识，往往会取得出奇制胜的效果。

四、数形结合法

例4 [广东江门]若f(x)=x2-ax（a＞0且a≠1），当x∈(-1，1)时，都有f(x)＜12恒成立，则实数a的取值范围是（）

A．（0，12）B．（2，+∞）

C．[12，1）∪（1，2]D．（0，12）∪（2，+∞）

解：由条件知x2-ax＜12在x∈(-1，1)上恒成立，即x2-12＜ax在x∈(-1，1)上恒成立。

令y1=x2-12，y2=ax，则y1＜y2在x∈(-1，1)上恒成立（a＞0且a≠1）。

在同一坐标系内画出y1、y2的图象，由图知若y2的图象经过点（1，12），则有a1=12即a=12，结合指数函数的性质可得12≤a＜1时，y1＜y2在x∈(-1，1)上恒成立。

同理：当a＞1时，在同一坐标系内画出y1、y2的图象，由图可知若y2的图象经过点（-1，12）时，有a-1=12，即a=2。

结合指数函数的性质可得1＜a≤2时，y1＜y2在x∈(-1，1)上恒成立。

综上可知，原不等式恒成立的实数a的范围是[12，1）∪（1，2]，故选C。

[评注]对一些含参数的不等式，若函数模型较明显，且函数图象又容易画出，则可以考虑做出函数图象，利用图象的直观性，往往能快速而简捷地找到解题途径，尤其对于选择题、填空题有时能起到“四两拨千斤”的效果。

当然，除了上述几类解法外还有着其他的方法，此处不再赘述，值得一提的是各种方法之间并不是彼此孤立的，因此，系统地掌握含参不等式“恒成立”问题的常见解法，对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性和创造性都有着独到的作用。

（作者单位：安徽省南陵县春谷中学）