为《几何原本》遗留的一个难题立证

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“A、B、C三点列成ABC的顺序”在本文所论及的几何公理体系中都被取为元词之一，亦即不定义的概念之一不过在以下两节，由于所引用的有关文献用语习惯不同，它先被改述为“点B在点A和点C之间”，后又被简称为“顺序ABC成立”.

1古籍轻断处，难度晚尤彰

学过初等平面几何的人都熟知外角定理，即

三角形的任一外角大于每一个不与之相邻的内角.

它的传统证明可以表述为

题设点D在ABC的边BC的延长线上.

题断∠ACD>∠CAB，∠ACD>∠ABC.

图1证取边AC的中点E连结BE并且延长

它到，使E=BE；作射线C

因为EC=EA，∠CE=∠AEB（对顶角相

等），E=EB，

所以 CE≌AEB（边角边）因此∠EC=∠EAB，亦即∠AC=∠CAB而由于射线C在∠ACD内，所以∠ACD>∠AC，可见∠ACD>∠CAB

作边AC的延长线CG仿照以上可证∠BCG>∠ABC，而∠ACD=∠BCG（对顶角相等），因此∠ACD>∠ABC

这个始见于欧几里得《几何原本》的证明，其高超之处在于没有直接或间接依赖平行公理就这一点说，它与当前某些课本给出的利用三角形内角和定理的证明不可同日而语现代的几何基础研究表明，外角定理应属于欧几里得几何中与平行公理无关的那一部分，亦即属于欧氏几何与鲍雅义罗巴切夫斯基几何的共同部分（[1]之§1§6以及§1中的所有定理都属于这一部分）因此，上述证明很能体现出欧几里得对于使用平行公理的极端审慎态度，很能体现出这位伟大学者的非凡的深谋远虑.

然而，上述证明是有严重缺陷的说“射线C在∠ACD内”未提供任何理由，仅仅根据直觉和想当然，而这一判断的作出乃是随后的不等关系以及最后结论导出的关键.

今天看来，《几何原本》未能证明上述判断毫不奇怪该书的公理中缺少有关三点列成顺序的那一部分，因此无从阐明“中间”、“内部”等概念，在涉及这些概念的场合自然讲不出任何道理来然而可怪的是，在进入现代，在欧氏几何的完备公理体系建成之后，该判断依然长期未能证明，以致这个本来不甚为人留意的小题目最后演变成了著名的“老大难”特别

引人瞩目的是，希尔伯特（Dilbert）在几何公理化方面的划时代著作《几何基础》从1899年起一共出过十二版，而其中对于外角定理的证明，除了最初几版没有谈到外，后来总是利用反证法另辟蹊径（见[1]§6）某些评论家认为，这正是为了“避开”上述难题（参阅[2]）.

本文意在汇报笔者多年研究上述难题的结果，借以取得同仁们、朋友们的批评指正以下为了叙述简便，常称该难题为“原本遗题”.

2原本遗题在希尔伯特几何公理体系中的证明

本文主要就欧氏几何公理体系中最广为人知的希尔伯特公理体系立论以下所述各项是该体系中对于证明原本遗题至关紧要的，其中绝大多数可见于[1]，不过定义和定理的编号皆为本文所加，此外由于考虑到易读并参考了其他有关译著，所以几乎所有各项都非照[1]直抄.

定义1一直线a上的两点A和B所成的点组称为一条线段，用AB或BA表示在A和B之间的点称为线段AB的内点或简称为线段AB的点；A和B各称为线段AB的一个端点.

一点是一线段的点常被说成该点在该线段上

定义2直线a上点O的同侧的点的全体，称为以O为源点的一条射线.

射线的源点不属于射线一点属于一射线也常称为该点在该射线上或该射线过该点.

定义3如果A、B两点不相同，则使B在A和X之间的点X的全体称为线段AB的在AB方向上的延长线，简称为线段AB的延长线；使A在B和之间的点的全体称为线段AB的在BA方向上的延长线，

简称为线段BA的延长线

[1]始终未给延长线以定义，然而并非无此需要综观[1]中涉及这一概念的言语，无论是“延长线段AB到点C”还是“点C在线段AB的延长线上”（例见该书、7、212诸页），可见其要求不外：⑴C在直线AB上；⑵B在A和C之间，又据下文即将讲到的公理，满足⑵则必满足⑴，故笔者试拟定义如此，若有不当企盼指正.（图2）.

易见，线段AB的延长线与线段BA的延长线各是一条射线，二者的源点分别是B与A.图2

定义4在平面α上以同一点O为源点并且不在同一直线上的两条射线h和k所成的线组称为一个角，用∠（h，k）或∠（k，h）表示；射线h和k各称为这个角的一条边，点O称为这个角的顶点射线h和k连同点O，把α上其余的点分成两个区域：所有的点，在k所在直线的h侧（即h的点所在的那一侧）又在h所在直线的k侧的，构成∠（h，k）的内部，或者说这些点在∠（h，k）内；其他的点构成∠（h，k）的外部，或者说它们在∠（h，k）外.

由定义4可知，这里所谓“角”没有包括平角和超过平角的角.

定义5不在同一直线上的三点A、B、C称为三角形ABC，表之以ABCAB、BC、CA三线段各称为这三角形的一条边，A、B、C各称为这三角形的一个顶点.

三角形的边为线段，因此在某一边上的点即在这一线段上的点，亦即这一线段的内点.

公理Ⅰ2（第一组公理――关联公理的第二条）对于不同的两点A和B，至多有一直线既过A又过B推论：不同的两直线至多有一公共点.

公理Ⅱ1（第二组公理――顺序公理的第一条）若点B在点A和点C之间，则A、B和C是同一直线上的不同三点，而且B也在C和A之间.

公理Ⅱ4（第二组公理――顺序公理的第四条）设A、B和C是不在同一直线上的三点，a是平面ABC上不过A、B、C三点中任一点的直线若a过线段AB的一点，则它必也过线段AC的一点或线段BC的一点.

定理若、两点各在∠（h，k）的一边上，则在线段上的点必在∠（h，k）内.

定理（兼定义）射线l以∠（h，k）的顶点为源点，且它的某一点在∠（h，k）内，则它的所有点都在∠（h，k）内在这种情形下，我们也说“射线l在∠（h，k）内”

这两个定理在[1]之§已提出，而其证明则分别见于[1]中所附的德文第七版俄译本注解[19]之1与.

现在回到原本遗题首先要弄清楚它是怎样一个题目.

按照通常的理解，它似可表述为“求证：在节1所示的题设和辅助线作法共同限定之下，射线C在∠ACD内”事实上，对射线C在∠ACD之内与否确有影响的，只是节1题设和辅助线作法中所提及的点和直线的位置关系以及牵涉三点列成顺序的事项，在此之外则毫不相干因此，本题从语义上给以精练表述该是：

求证：如果A、B、C三点不在同一直线上，点D在线段BC的延长线上，点E在线段AC上，点在线段BE的延长线上，则射线C在∠ACD内（图3）.

图证B、D、E不在同一直线上，因为由于D在线段BC的延长线上，E在线段

AC上，所以C在B、D之间，E在A、C之

间（定义3与1），可见B、C、D互不相同

且在同一直线上，A、E、C也是这样（公理

Ⅱ1）命前三点所在直线与后三点所在直线分

别为a与b假设B、D、E都在直线l上，

则由于l与a都过B与D二不同点，可断l与a重合（公理Ⅰ2），因此E在a上，继而由于a与b都过E与C二不同点，可断a与b重合，于是A、B、C都在a上，与题设相矛盾.

B、C、不在同一直线上，理由类似上述.

连结DE假设直线C过B，则B、C、在同一直线上，为上述论断所不容假设直线C过D或E则不难推理得出类似的谬误结果因此直线C不过B、D、E三点中的任何一点又由题设，直线C过线段BD的点C且与直线BE有不在线段BE上的公共点，而依公理Ⅰ2的推论，直线C不可能与直线BE另有公共点，故而不可能过线段BE的点依公理Ⅱ4，直线C必过线段DE的一点设该点为G，则由定理，G在∠ACD内.

仿上可断直线DE不过B、C、三点中的任何一点，直线DE过线段B的点E而不可能过线段BC的点，因而可断直线DE必过线段C的一点设该点为G′，则G′既然是线段C的一点，也必是射线C的一点.

因为G与G′同为直线C与直线DE的公共点，所以依公理Ⅰ2的推论，G与G′重合于是G既在∠ACD内又是射线C的一点由定理，射线C的所有点都在∠ACD内，故射线C在∠ACD内

在高中数学选修课中证明原本遗题

把原本遗题的证明作为高中数学选修课的内容之一是有价值的，有吸引力的，因为它既立足于学生们初中所学知识，又启示了现代数学的公理化思想，还富有历史的趣味然而要是仍然遵循希尔伯特的公理体系，那么除非有谁提出较简的证法（对此笔者热切期盼着），否则岂止原本遗题的证明必须讲，就连定理、的证明也没有理由要求对几何基础完全陌生的学生们去自行查阅有关文献，结果是全部证明之繁重既为规定的课时无法容纳，也为大多数学生难以耐受依拙见，这时采用的公理体系非但不能是希尔伯特的，而且最好是中所陈述的是数学教育家傅种孙所撰《高中平面几何教科书》（19年由北平算学从刻社出版）的白话译本，其中的公理体系乃将几何学家order的名著he foundations of Euclidean geometry所采用的体系剪裁、修改而成，是将公理方法推行于中学数学教育的一次宝贵尝试.

在，线段、射线、线段的延长线、三角形四个概念的定义都或则同于希氏体系，或则与希氏体系虽有差别而其差别与证明原本遗题无关，因此不妨继续使用希氏体系中的定义除此之外，希氏体系的公理Ⅰ2在这里仍是公理，只是改称“定线公理”和希氏体系有差别并且其差别对证明原本遗题有影响的是直线和角（主要是其内部）两个概念以及另外两条公理以下所采用的定义编号意在使这两个新定义参加节2的定义系列并取代那里编号相同的定义.

定义0如果A、B两点不相同，则使顺序XAB或顺序AXB或顺序ABX成立的一切点X，连同A和B，构成一个集合，叫做直线AB.

这个定义显示，“直线”不再像在希氏体系那样被当作一个元词.

定义4如果射线OA和射线OB不在同一直线上，则这两射线的点连同点O构成一个集合，叫做角AOB，用∠AOB表示射线OA和OB各称为∠AOB的一条边点O称为∠AOB的顶点如果射线OX过线段AB的一点，则称点X在∠AOB内如果点X在平面AOB上而且既不属于∠AOB又不在∠AOB内，则称点X在∠AOB外在∠AOB内的一切点所构成的集合称为∠AOB的内部在∠AOB外的一切点所构成的集合称为∠AOB的外部如果一射线上的所有点（注意：源点不在其中）都在一角内，则称这射线在这角内.

此定义中谈到的“平面”在也是有定义的不过该定义与对“点在角内”的理解无关因而和以下证明无关，这里不提.

顺序公理如果顺序ABC成立，则A、B、C互不相同.

中被称为“顺序公理”的有两条，这是其中之一.

截割公理（Pasch′s axiom）一直线如既过一三角形的一边延长线的一点，又过另一边的一点，则必过第三边的一点.

再次回顾原本遗题，仍用图3.

证B、D、E不在同一直线上因D在线段BC的延长线上，E在线段AC上，故顺序BCD、顺序AEC都成立（定义3及1），可见B、D互不相同，E、C互不相同（顺序公理）假设B、D、E都在直线l上因B、D不相同且顺序BCD成立，故C在直线BD上（定义0），而直线BD即l（定线公理），因此C在l上因直线AC与l都过两不同点E与C，故直线AC与l必重合（定线公理），于是A、B、C都在l上，与题设相矛盾.

B、C、不在同一直线上，理由大致如上.

考虑BDE直线C既过边BE的延长线的一点，又过边BD的一点C，则直线C必过边DE的一点（截割公理）设此点为G.

再考虑BC直线DE既过边BC的延长线的一点D，又过边B的一点E，则直线DE必过边C的一点（截割公理）设该点为G′，则G′既然在线段C上，也必在射线C上.

因为G与G′同为直线C与直线DE的公共点，所以G与G′重合（定线公理的推论）于是G既在线段DE上又在射线C上因此，射线上的所有点都在∠ECD内，从而射线C在∠ECD内（定义4），亦即在∠ACD内

参考文献

[1]D 希尔伯特几何基础（中译本第二版）北京：科学出版社，199.

[2]张英伯欧氏几何的公理体系和我国平面几何课本的历史演变数学通报，26，（1）.

傅种孙（原著者）平面几何教本[M]北京：北京师范大学出版社，1982.

作者简介王树茗，男，北京一零一中学数学特级教师（已退休）