分类讨论思想复习指津

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分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给的对象不能统一研究和解决时，我们就需要根据数学对象本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类对其研究和解决，最后综合各类结果，得到整个问题的解答.这种思想方法，我们称之为“分类讨论思想”.它是数学中一种重要的解题思想，是逻辑思维、理性思维能力高低的体现.有人说，会分类的人容易当上CEO，这说明学会了分类，不仅能大大提高数学解题能力，而且能为今后成为行业领军人物奠基.

对分类讨论思想的考查是历年高考的重点和热点，也是高考的一个难点.近几年，无论是选择题、填空题，还是解答题，都非常重视对分类讨论思想的考查，其分值也呈逐渐增加之势，不少试题具有背景新、结构新、解法新的特点，它是各省市高考命题的重要“题眼”.

一、内容概述

1.分类讨论的实质.

分类讨论，实质上是“化整为零，逐个击破”的解题策略.对问题实行分类与整合，确定分类标准后等于增加了一个条件，实施转化处理，将目标分解为一个个子目标，降低难度，最后通过反思整合，实现解题目标.

2.分类讨论的原则.

①同一性原则：分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类依据，否则会出现重复的现象.

②互斥性原则：分类后的每一个子类，要互不相容，即不能出现有一项既属于这一类又属于那一类.

③完整性原则：分类后的每一个子类，合并起来等于总类，没有遗漏的现象.

④多层性原则：分类后的子类，若还可以继续再分类，则要分到直到不能再分为止.

⑤优化性原则：分类方式要尽量简单，遵循以简驭繁的要求.

3.分类讨论的步骤.

第一步，选择分类对象，即对什么进行分类，明确讨论的对象.

第二步，确定分类标准，即怎样分类，选择一个统一的标准，合理分类.

第三步，深化分类层次，即每类中是否还要分类（二级分类），逐步讨论.

第四步，总结概括结论，即对各类情况进行整合，得出整个问题的结论.

需要注意的是“深化分类层次”这一步，在解题中可能有也可能没有，要视具体情况而定.

二、考情分析

纵观近年来的数学高考试题，对分类讨论思想的考查主要体现在两个方面：（1）考查是否有分类讨论的直感意识和判断；（2）考查能否根据掌握的知识对问题进行合理分类.

从考查内容看，对分类讨论思想的考查常以函数、数列、不等式、排列组合、解析几何等为载体.其中，含参数的函数与导数问题是考查的热点，近几年都出现在位置比较靠后的解答题中.

从考查的形式上看，近几年从含一个参数的讨论慢慢转到含多个参数的讨论，从简单的分类讨论转到需运用逻辑推理、数形结合等数学本质的分类讨论.

三、题型解析

1.实际意义型.

实际意x型是指由实际意义引起的分类.在应用题、排列组合、概率统计、线性规划中，这种分类居多.

四、备考建议

1.分类讨论要选好讨论的对象及角度.因为分类讨论往往有多个对象（如字母、变量、函数等），讨论的角度也可能有多种情况，选择不同的讨论对象及角度，讨论的难易程度大不相同，所以选好讨论的对象及角度至关重要.

2.分类讨论要把握好关键.分类讨论的关键是要制定好分类标准，确定好分界点.当分类讨论需并列多次讨论时，要找好各次分类的分界点，再制定好分类标准；当分类讨论需多层讨论时，要根据题意逐层讨论，或根据各层的分界点重新制定好分类标准.

3.分类讨论要尽量利用好条件缩小讨论范围.某些分类讨论问题可利用条件缩小讨论的范围，不用全范围讨论，避开一些复杂的讨论，可以达到简化讨论的目的.

4.要尽量运用其他数学思想和数学本质，简化甚至避免分类讨论.某些分类讨论问题，若直接分类讨论，将陷入运算复杂、讨论烦琐的情况，若换个角度运用其他数学思想（如化归与转化、数形结合等）和数学本质，有可能简化甚至避免分类讨论，收到柳暗花明之效.