理解算理, 构建算法

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在计算教学中，理解算理和掌握算法是两大重要任务。“算理”指计算的原理和依据，即为什么这样算；“算法”指计算的基本程序和方法，即怎么样算。算理是算法的基础，算法则是算理的抽象，因此教学中要做到算理和算法并重，使理解算理和掌握算法相互作用、共同促进。

纵观当下计算教学课堂，出现这样几种现象：

现象一：重算法、轻算理，导致学生只会依葫芦画瓢，不知其所以然。虽然通过一系列反复练习，学生的计算正确率和速度都会有所提高，可是一旦停止机械重复操练，计算错误率就会直线上升。

现象二：重算理、轻算法，即把理解算理的过程当成课堂主干，而忽视算法抽象与构建，导致学生无从下手，课堂练习错误百出。

现象三：没有处理好算理直观与算法抽象的矛盾。如教学中借助直观操作学生能十分清晰地理解算理，此时学生完全处于直观形象的算理中，接下来教师立马要求学生面对十分抽象的算法，思维跨度太大，导致学生无法在理解算理的基础上构建算法。

这些现象严重影响学生计算能力提高。一方面，算理与算法是不可分割的整体，理解算理的过程本质上是促进算法抽象。算理为算法提供了理论指导，算法使算理具体化。另一方面，教师要让学生在充分的体验中逐步完成“动作思维―形象思维―抽象思维”这一过程，借此理解算理，构建算法。下面以苏教版小学数学一年级下册《两位数减一位数（退位）》的教学为例，谈谈如何处理好算理与算法的关系。

一、在回顾中感悟算理，迁移算法

计算内容之间的联系十分紧密，虽然数位的增加、进位或退位等情况会逐渐增加计算的复杂程度，但基本算理和算法却可以迁移，所以说这是一个循序渐进、螺旋上升的学习过程。

教学片断一：

复习导入环节，出示47-3、86-5、73-1、28-4、15-3、39-8。

师：你会算吗？（指名学生口答）

师：39-8你是怎样算的？

生：先算9-8=1，再算30+1=31。（师相机板书计算框架图）

师小结：两位数减一位数，先算个位几减几，再加上剩下的几十。这节课继续学习两位数减一位数。（板书课题）

两位数减一位数的退位减法与不退位减法的算理存在一致性，都是先算个位上几减几，再加上剩下的几十。老师通过复习不退位减法的计算过程，唤起学生已有知识基础和学习经验，让学生在迁移中初步感悟算理，为学习退位减法做好铺垫。因此，教师应注意把握教材计算内容的结构序列，找准新的计算内容的发展点，激活学生的已有知识，帮助理解算理，实现对算法的构建。

二、在操作中理解算理，抽象算法

直观操作是数学教学的有效手段，通过直观操作不仅能将抽象的算理形象地显现出来，为算法构建提供原型支撑，而且对学生理解算理、构建创造性算法具有重要意义。

教学片断二：

师：30-8你是怎样算的？先摆多少根小棒？

生：先摆30根小棒。（出示3捆小棒）

师：要拿走多少根？

生：拿走8根。

师：怎样从3捆小棒中拿走8根呢？先想一想，然后和同桌合作摆小棒，并说一说先算什么再算什么。（同桌合作）

师：你是怎样拿的？

生：我把一捆小棒拆开来，拿走8根，还剩2根，还加上20，就是22根。

师小结：个位上0-8不够减，所以向十位借1捆小棒，拆开来就是10根，去掉8根，所以先算10-8=2，然后把2和剩下的20相加，所以再算20+2=22。

师：谁能看着小棒图说一说计算过程。（指名说）

师：我们可以这样写下来。（师边说计算过程边板书计算框架图）

师追问：10哪来的？为什么只剩20了？

师：你能看着框架图说一说计算过程吗？（指名说、同桌互说、齐说）

老师先设置了一个认知冲突，即怎样从3捆小棒中拿走8根呢？顺势引导学生用小棒摆一摆、拿一拿，通过操作学生明确了个位上0-8不够减时，要向十位借1捆小棒。所以说借助直观操作，学生易于理解算理，抽象出计算方法。

三、在比较中内化算理，掌握算法

两位数减一位数的退位减法与不退位减法的算理虽然存在一致性，又有不同的地方。

教学片断三：

师：这些都是两位数减一位数，比较30-8和34-8的计算过程和以前学的39-8有什么不同的地方？先自己想一想，再和同桌说一说。

全班交流。

生1：39-8中的9-8够减的，30-8和34-8个位上的数不够减，要拆一捆小棒。

生2：39-8得数是三十多，30-8和34-8得数是二十多。

……

师小结：30-8和34-8个位上的数不够减，向十位借1，所以得数十位上的数比原来少1，这样的减法是退位减法（板书：退位）；39-8个位上的数够减的，不用向十位借，所以得数十位上不变，这样的减法是不退位减法（板书：不退位）。

通过比较“退位减法和不退位减法计算时有什么不同的地方”，不仅可以帮助学生内化算理、掌握算法，而且沟通前后知识间的联系，有利于学生形成完整的知识结构体系。

四、处理好算理直观与算法抽象的矛盾

在教学片断二中，学生通过学具操作，对30-8的算理理解得十分清晰，此时老师没有急于让学生抽象出算法，而是让学生看着小棒图说一说是怎样算的，并相机板书计算框架图，与此同时追问“10哪来的？为什么只剩20了？”最后抽象出计算方法，让学生看着框架图练说计算过程。这一教学过程正是从直观操作明晰算理――形象思维沟通算理与算法――抽象思维明确算法，真正让学生在充分体验中一步一步地实现算理直观到算法抽象的转化。

特别注意的是，在学生初步理解算理、明确算法后，教师应根据计算技能形成规律，及时组织有效练习，巩固算法，形成计算技能。

综上所述，在计算教学中不仅要落实重理又重法的思想，还要处理好算理与算法的相互促进关系，才能真正提高学生计算能力。