建构开普勒运动模型来解题
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1引言
开普勒的行星运动定律，从运动学角度描述了行星运动，具体描述情景为：中心天体为太阳，各行星（环绕天体）环绕太阳的运动.牛顿就在开普勒三定律的基础上，从动力学的角度建立了万有引力定律.对于具有普遍适用性的万有引力定律，在地月系中也成立（其中，地球为中心天体，各卫星为环绕天体）.若已知地球质量为M，卫星质量为m，两者中心相距r，则地球对卫星的万有引力提供卫星绕地球作匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得
GMmr2=m4π2T2r（T为周期）.
变形后r3T2=GMT2=k.
由此可见，开普勒第三定律在地月系，一样成立.开普勒定律不仅适用于太阳系，它对于一切具有中心天体的引力系统（如行星-卫星系统）和双星系统都成立.天体或人造天体在引力中心的作用下所作的运动都符合开普勒定律，故可统称为开普勒运动.在实际物理教学中，涉及开普勒运动的问题大量出现.但凡天体问题的计算中，因要代入的数字巨大，这让很多学生心存畏惧.如何用开普勒定律来破解这类开普勒运动的问题？笔者从以下几方面来分析.
2估算同步卫星的高度
同步卫星在教材中的介绍，是以人教版物理必修2第36页的习题形式出现的.原题为：
一种通信卫星需要“静止”在赤道上空的某一点，因此它的运行周期必须同地球自转周期.请你估算：通信卫星离地心的距离大约是月心离地心的距离的几分之几？
这种通信卫星就是同步通信卫星，即同步卫星.根据同步卫星的周期与地球自转的周期T相同，很多辅导资料估算同步卫星高度时，做法如以下法一：
设同等卫星离地面高度为H、地球半径为R，地球对同步卫星的万有引力提供同步卫星绕地球作匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得：
F合=Fn，
G=Mm（R+H）2=m4π2T2（R+H），
（R+H）3=GMT24π2，
H=3GMT24π2-R
=（36.67×10-11×6×1024×（24×3600）24×3.142-6.4×106） m
=3.6×107 m.
若不已知地球的质量，则可用法二：
由F合=Fn知GMm（R+H）2=m4π2T2（R+H）（1）
物体在地球表面时G=Mm′（R+H）2=m′g（2）
由（1）、（2）得H=3gR2T24π2-R=3.6×107 m.
显然，无论是法一还是法二，推导步骤繁杂，计算量很大.若能考虑用开普勒第三定律，我们看法三：从物理课本可知：
r月=38万公里，R=6400公里，r月R=60，T月=27T，
r3月T2=（R+H）3T2，
即（60R）3（27T）2=（R+H）3T2，
可得R+H=60R9=6.6R，H=5.6R=3.6×107 m.
这三种解法中，显然因为开普勒第三定律中物理量少，必然导致计算量更小.若再能用天文常识，我们灵活计算其中的倍数关系，自然会事半功倍.因此，在实际物理教学中，师生讨论同步卫星高度的计算时，当然用开普勒第三定律更高效.
3估算近地卫星的参量
“近地卫星”是在人教版物理必修2第5节《宇宙航行》中作了分析，接着引出了“第一宇宙速度”的概念.
类比前面的法一：
F合=Fn，
GMmR2=m4π2T21R（1）
代入可得T1=84.8 min.
类比前面的法二：
GMmR2=m4π2T21R（1）
GMmR2=mg（2）
T1=4π2R3GM=4π2R3gR2=84.8 min.
两种算法中，后者只是不知地球质量时有优势，但也摆脱不了要有推导步骤、计算量也不小的缺陷.我们用开普勒第三定律，则为
r月=60R，T月=27×24h，R3T21=r3月T2月，
即 R3T21=（60R）3（27×24h）2，得 T1=2h=8.4 min，
v1=2πRT1=2π×6.42×3.6 km/s=7.9 km/s.
显然，近地卫星运行速度v1=7.9 km/s就是地球的第一宇宙速度.
4高考试题中对开普勒运动问题的考查
在中学物理上，天体问题大多视为一天体绕另一天体作匀速圆周运动.这就是开普勒运动模型，为直接应用开普勒定律提供了很多的可能.学生在解题时，习惯了根据牛顿第二定律来列方程（F合=Fn）计算.这本来是好的，但在争分夺秒的考试中，一定程度上束缚了学生直接应用开普勒定律来快速解题.高考试题中，天体方面的问题常用开普勒运动模型来求解.
例1（2010年全国课标）太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道.图1中4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象.图中坐标系的横轴是lg（T/TO），纵轴是lg（R/RO）；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，TO和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径.下列4幅图中正确的是
解析由开普勒第三定律可知R3R30=T2T20等式两边取对数可得y=2x3（设4幅图中纵轴物理量为y，横轴物理量为x）.
点评本题只涉及周期轨道半径，当然是考查开普勒运动模型、用数学解决物理问题的能力，直接应用开普勒定律推导出两坐标轴上物理量的函数关系式.
例2（2011年全国新课标）卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送.如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105 km，运行周期约为27天，地球半径约为6400千米，无线电信号传播速度为3×108 m/s）
A.0.1 sB.0.25 sC.0.5 sD.1 s
解析r1R=60，T1=27T，
由开普勒第三定律可知r32r31=T22T21，
解得r1=R+H=60R9=6.6R，
代入数据可求得r2=4.2×107 m.
如图2，发出信号至对方接收到信号所需最短时间为
t=sv=2R2+r22c，
代入数据可求得t=0.28 s.所以B选项正确.
点评直接应用开普勒定律， 灵活计算其中的倍数关系， 实现快速解题.
例3（2011年安徽）
（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即a3T2=k，k是一个对所有行星都相同的常量.将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式.已知引力常量为G，太阳的质量为M太.
（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立.经测定月地距离为3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量M地.（G=6.67×10-11 Nm2/kg2，结果保留一位有效数字）
解析（1）已知：行星绕太阳作匀速圆周运动，把轨道的半长轴a看成轨道半径r.由万有引力定律和牛顿第二定律得
GMmr2=m4π2T2r，
则r3T2=GMT2=k（1）
即k=G4π2M太.
（2）在地月系中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由（1）式可得R3T2=G4π2M地，解得M地=6×1024 kg.
点评此题直接呼应，本文开头对开普勒运动模型的论述.若能构建开普勒运动模型，学生结合万有引力定律和牛顿第二定律推出常量k的表达式，再代入数据就可求得地球的质量.
5小结
对于考试中的天体问题，往往计算量特别巨大，在禁止使用计算器的考试中，若能建构开普勒运动模型，学生直接应用开普勒定律来解这些问题，具有明显的优势.教师应加强引导学生，对所解习题的比较与总结，探究到解题规律，优化解题方法，提高解题速度.