几何直观:寻找解决问题的“天平”
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇几何直观:寻找解决问题的“天平”范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
【关键词】几何直观;解决问题;天平模型;解决问题的策略;假设
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2015）33-0059-03
【教材编排】
《解决问题的策略：假设》是苏教版教材六年级上册的内容。教材安排了两道例题，例1是“倍数关系”的假设：小明把960毫升果汁倒入6个小杯和2个大杯，正好都倒满。已知小杯的容量是大杯的■，小杯和大杯的容量各是多少毫升？例2是“相差关系”的假设：在2个同样的大盒和5个同样的小盒里装满球，正好是100个。每个大盒比每个小盒多装8个，每个大盒和小盒各装多少个？
【课前思考】
自从使用新课标教材以来，这节课得到了很多教师的精彩演绎，所形成的“策略”教学似乎已成经典，很难超越。但听完课后，始终有几个问题困扰着我：
1.学生比较容易解决“倍数关系”的假设问题，为什么解决“相差关系”的假设问题时，不少学生会一筹莫展？困难在哪里？
2.本节课，学生掌握“假设”的策略，感悟“假设”的思想就够了吗？解决问题的关键在哪里？还有哪些数学的意义和价值？
【学情分析】
课前，在学生没有任何准备的情况下，我就上述两道例题对学生进行了前测。结果，例1的准确率达到了61.9%，例2的准确率仅为19.0%。其实，对于“把两种不同的量假设或转化成同一种量”，学生在前面的学习中已经积累了一定的经验，如异分母分数加减、名数的化聚等。
事实上，解决问题的核心是找到数量间的相等关系，“假设”策略是为找到新的等量关系服务的。因此，如何引导学生寻找假设后的等量关系就成了“解决问题的策略”教学的关键。
【设计意图】
数学是研究“数”与“形”的科学。现代脑科学研究表明，人的大脑对几何空间有一种认识的本能，对空间的感知能力最强，对“形”最为敏感和深刻。本课中，作为“数”的等量关系对于小学生来说是比较抽象的，那么，能否找到一个合适的“形”来促进学生的理解和应用呢？
我们知道，学习方程时，学生是通过天平来认识和理解等式的，天平是建立方程这个模型的模型。那么，天平能否成为建立解决问题中“等量关系”这个模型的模型呢？事实上，数量间的相等关系是一种数学模型，是解决问题的关键。因此，利用几何直观引导学生找到数量间的相等关系这个天平模型，成为我重构这节课的主要思考点。另外，从人的发展来看，把握人生的天平对学生今后的人生发展至关重要。这样的教学，不仅能够突破难点，促进学生理解数学，对学生认识自然、认识自我也具有一定的教育意义。
因此，我把例1、例2进行了改编和整合，采用“梨和苹果的重量”这一相同主题的素材，既便于天平这个模型的介入，也有利于学生进行知识的对比，促进学生认知结构的形成。
【教学过程】
环节一：感悟天平，体验简单的数量关系
师：能看懂这张图吗？这里的天平表示什么意思？
生：4个苹果一共重600克。
师（板书：4个苹果的重量=600克）：有了这个数量间的相等关系，求1个苹果的重量就可以直接用――（用总重量除以苹果的个数）
这一环节的教学，旨在引导学生理解当题目中只有一种量并且建立相等的数量关系时，就可以直接解决问题，为后面理解“为什么要假设”设置认知冲突，激活学生的已有经验。之所以用天平而不是文字叙述的形式来呈现，是因为这样做更能凸显“等量关系”这个解决问题的关键，即用天平的平衡性表示数量间的相等关系，利用几何直观促进学生的理解和掌握。
环节二：理解天平，体验变化的数量关系
师：能看懂这张图吗？这里的天平又是什么意思呢？
生：1个梨和2个苹果一共重600克。
师：要求1个苹果和1个梨的重量，能用600÷3吗？
生：不能。
师：为什么天平两边相等，却不能除以3呢？
生：因为梨和苹果的重量不一样。
（板书：不同的量。）
生：如果都是苹果或者都是梨就好了。
师：不改变题目的意思，你有什么办法能变成都是苹果或者都是梨吗？
生：可以补充一个条件。
师：说说看，可以补充怎样的条件？
生1：一个梨的重量是苹果的2倍。（倍数关系）
生2：一个梨比一个苹果重150克。（相差关系）
…………
师：你能找到每一种假设背后的“天平”吗？
生1：4个苹果的重量是600克。
生2：2个梨的重量是600克。
…………
“为什么要假设”是形成策略的前提。只有让学生感受到“为什么要假设”，才能让他们体会到解决这类问题的起点，即掌握这类问题的背景和特征。从学生已有的知识经验分析，学生很难主动根据其中的数量关系进行合理的假设。这时，教师通过相同情境的变换，激发学生的认知冲突，唤醒学生潜在的假设经验，使他们产生“如果都是苹果或者都是梨就好了”的心理趋向。同时，触及知识的本源――把不同物体假设成同一物体。
“怎样假设”是形成策略的重点。上述环节中，我引导学生开展观察、比较、操作、讨论等探求解决问题的方法的活动。在学生自主探索的基础上引导他们交流：你是怎样假设的？为什么要这样假设？同时倡导解决问题的策略的多样化。通过比较，得出两种思路的共同之处是将“两种不同的水果”假设为“同一种水果”。
“找到假设后的等量关系”是解决问题的关键。从前测的情况看，学生自己也能解决问题。但解决问题不等于体会到了数学的实质，所以，本环节重点要让学生理解解决问题的关键是找到假设后的等量关系。教学中，我始终利用天平这个模型引导学生理解：虽然水果的数量变了，但天平的平衡没有改变，因此可以找到这个等量关系来解决，使学生体会到问题解决的实质。
环节三：应用天平，体验复杂的数量关系
师：如果现在老师给你一个“相差关系”的条件――一个梨比一个苹果重150克，这个问题还能用假设策略来解决吗？为什么？
生：可以用假设的策略，因为题目中有两种量，而且有一定的关系可以假设。
师：怎样假设？自己先独立思考，然后在四人小组里讨论交流。
（小组讨论后全班交流。）
生：可以把梨假设为苹果。
师：想象一下，如果把一个梨换成一个苹果，天平会怎么样？真的是这样吗？
（课件动态演示天平由平衡变不平衡的过程。）
师：请大家仔细观察，你发现了什么？为什么左边一端高上去了？
生：因为把左边的梨换成苹果后，重量少了150克。
师：现在变成一种水果了，能用600除以3吗？为什么？
生：不能，因为天平两边不平衡，也就是说两边的数量不相等。
师：看来问题的关键是找到等量关系，也就是使天平――
生：要让天平重新平衡，才能直接除以3，求出1个苹果的重量。
师：怎样使天平重新平衡呢？
生：可以在右边减去150。
师：为什么？
生：因为把左边的梨换成苹果后，重量少了150克。要保证天平平衡，右边应该也要减去150克。
（课件动态演示天平由不平衡变平衡的过程。）
师：减去之后，它们的等量关系是――
生：3个苹果的重量=600-150（克）。
…………
生2：还可以把苹果换成梨。
（课件动态演示天平由平衡变不平衡的过程。）
师：怎样让天平再次平衡？为什么？
生：因为把苹果换成梨，左边重了150×2克，要保持天平平衡，右边也要加上150×2克。
（课件动态演示天平由不平衡变平衡的过程。）
师：加上之后，它们的等量关系是――
生：3个梨的重量=600+150×2（克）。
解决相差关系的假设问题，是本课教学的难点所在，原因有两个方面：一是假设后的总量变了，原有的等量关系不成立，需要找到新的等量关系;二是假设后数量关系变得更加复杂了，加上数量关系本身的抽象性，学生对数量的变化较难把握，难以找到新的等量关系。要突破这个难点，需要强化“天平”这个模型，利用假设后天平不平衡了，需要找到新的平衡（等量关系）才能解决问题。同时，利用课件动态呈现天平由“平衡不平衡新的平衡”的过程，可以加深学生对“等量关系”以及“如何找到新的等量关系”的体验，引导学生直观地理解两边数量的变化，从而根据天平的平衡原理找到新的等量关系。
环节四：比较天平，体验相等的数量关系
师：比较例1和例2，有什么相同的地方？
生1：题目中都有两种不同的量，而且这两个量之间存在一定的关系，这样的问题适合用假设的策略把两种不同的量转化为同一种量来解决。
生2：假设后都要找到数量间的相等关系，也就是找到天平，才能解决问题。
师：例1和例2都是假设，它们有什么不同的地方？
生：例1是水果的数量变了，总量没有变化;例2是水果的数量没变，但总量变了。
…………
师：同学们观察得真仔细！但是同学们，我们学习数学，还要透过这些现象看本质。不管怎样假设，不管总量变与不变，要解决问题，我们都需要找到什么？
生：要找到平衡的天平，就是假设后数量间的相等关系。
师：对，这是解决数学问题的关键。我们看，假设要利用数量间的关系，假设后又要找到新的数量间的相等关系，数学就是研究关系的学科。数学就是这么奇妙，在变与不变中存在着内在的联系。
如果仅仅从解题的角度，这一环节并不重要，甚至可以不要。但数学学习不仅要获得知识和技能，更重要的是体验数学思想，而要体验思想，比较、归纳和反思就显得尤为重要。上述环节，我便是在引导学生从“变”与“不变”中体会数学的假设和守恒思想，感受数学之美，从而使他们理解了“数学是研究数量关系与空间形式的科学”这一学科特质。
“天平”这个模型在学生头脑中留下了深刻的印象，他们也积累了不少相应的活动经验，这种经验对他们今后解决类似的问题具有积极的作用。可以预见的是，以后遇到相似的场景，他们头脑中的“天平”就会很容易被激活、唤起并提取出来，进而寻求题目中数量间的相等关系来解决问题。
（作者单位：江苏省常熟市实验小学）