微元法――一种基本的物理数学方法

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摘 要：本文阐述了微元法，及其从微元的角度去理解一些物理概念、定义，概括出适用于微元法求解的两大类题目，并点明了用微元法解题的一般思路及注意点。

关键词：微元；对象；求和

中图分类号：G633.7

文献标识码：A

文章编号：1003-6148(2007)11(X)-0004-4

微元法是解决物理问题的基本思想方法，它贯穿于高中阶段的物理知识体系，渗透于一些物理概念、公式中。取微元作为研究对象，可准确地描述变化的物理过程中瞬间状态，微元再求和更是解决物理过程中变量积累问题的重要方法，也是高考命题热点。

1 物理概念中渗透微元法的基本思想

平均速度只是粗略地描述物体运动快慢，要准确的描述物体运动快慢，应该用瞬时速度。课本中瞬时速度定义是：运动物体在某时刻(某一位置)的速度，可进一步理解为：平均速度=st中，当时间非常短接近于零，表示某一瞬时，或位移非常小，表示某一点的速度。这里时间非常短，或位移非常小，已渗入了取时间微元或位移微元的思想。匀速直线运动指：任何相等的时间内位移相等。这里“任何相等的时间”也包含了很短的时间微元，当然也可取较长的时间段。但若把“任何相等的时间”取为彼此相邻或相隔一定时间间距的较长时间段时，这种情况下若位移相等，就不一定做匀速直线运动了。当“任何相等时间”取为很短的时间微元时，不管各时间微元之间间距如何，只要在此内位移相等，也就是瞬时速度相等，那么就一定是匀速直线运动，从这个角度来讲，用微元法来描述匀速直线运动更加直接，当然也可以取位移微元来研究。同样地描述物体运动状态改变时，加速度a=ΔvΔt，若t取得较长，a只是这段时间内的平均加速度，只能粗略地描述速度变化的快慢，只有当t取很小的时间微元时，才能反映出各时刻速度的变化，即瞬时加速度。在实际应用中，如火箭发射升空、卫星返回，往往是非匀变速运动，工程技术人员要掌握和控制的是瞬时速度、瞬时加速度才有意义。另外瞬时功率，瞬时冲量等也是如此。在电磁感应中，闭合线圈中的感应电动势ε=nΔφΔt，当t取得较长时，ε是该段时间内的平均感应电动势，当t取为很小的时间微元时，才准确反映某一时刻的感应电动势。所以要描述某些变化过程中的物理量，取时间微元或位移微元来定义或研究，会更加准确、透彻。

2 微元法在解题中的应用

2.1 以微元为研究对象

对于连续变化过程中要求解任意点的某个量，而变化过程没有明确的起始点和终点，或所求点与起始点和终点不能用公式相互联系起来，以全过程为研究对象无济于所求问题，取微元为研究对象时又能找到该微元上各物理量之间的联系，这类问题就要考虑选取微元为研究对象。

例1 如图1所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子与水平方向的夹角为θ，此时物体m的速度大小为多少?

例2 一艘帆船在静水中由于风力的推动做匀速直线运动，帆面的面积为S，风速为v1，船速为v2(v2

析与解 风吹帆面是一个连续的过程，而且题意中每时每刻情况相同，无法取全过程，显然只能用微元法。如图3所示，取吹到帆面上的空气微元体为研究对象，选帆面为参照物，则经时间t后，微元体速度由v1-v2变为零，空气微元体的质量为：

根据牛顿第三定律可知，帆面受到的平均风力在数值上等于空气微元体受到作用力为F。

例3 如图4所示，质量均匀分布的细圆环均匀带电，总电量为Q，圆环半径为R，质量为m，把该环平放在绝缘光滑的水平面上，匀强磁场的磁感应强度为B，方向竖直向下。当该环绕通过环心的竖直轴以角速度ω顺时针旋转时，环中张力多大?

析与解 该环上每一点的运动情况都相同，各点受力情况也相同，取整个环为研究对象显然求不出环内张力，只能用微元法。在环上截取弧长很短的一段L圆弧作为微元，其对应的圆心角为θ，其质量Δm=m2πRΔL，其电量Δq=Q2πRΔL。对这一小段圆弧作受力分析：

洛仑兹力f沿θ的角平分线向外，环内张力T沿微元左右两点的切线方向，T在f反方向的分力为TsinΔθ2。

这一小段圆弧做匀速周运动，根据牛顿第二定律有：

注意 θ很小时三角函数中的近似公式sinθ≈θ，tanθ≈θ在微元法中常用。

2.2 取微元为研究对象再求和

功是力在位移上的积累，冲量是力对时间的积累，位移是速度在时间上对时间的积累，电量是电流对时间的积累，一些习题中常需要求解一个变化量对另一个量的积累。如非匀速运动的位移，变力做功，非恒定电流流过导体中的电量等。解这类问题需要具体问题具体分析，微元法是基本方法之一。取微元，再结合微元的物理意义，运用数学工具，特别是运用图象面积求得微元之和。运用该方法在解题中破解难点，找到捷径常常十分有效。

例4 如图5所示，质量为m的动力小车以恒定的速度v沿半径为R的竖直圆轨道运动。已知小车与轨道间动摩擦因数为μ，则小车从轨道最底点运动到最高点的过程中摩擦力所做的功为多少?

析与解 这是一个变力做功问题，不能直接用功的计算公式求解，常用方法有：动能定理、功能原理和图象法。分析该题已知条件可知，用前两种方法无法解决。考虑先求得功微元再对这些微元求和。小车运动到某一位置时的受力情况如图6。小车与轨道间的滑动摩擦力f=μN，小车做匀速圆周运动所需的向心力由轨道的支持力与小车重力沿半径方向的分力的合力提供，即：

例5 (06年江苏高考)如图8所示，顶角θ=45°的金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定的速度v0沿导轨MON向右运动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r。导体棒与导轨的接触点为a和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。t=0时，导体棒位于顶角O处，若在t0时刻将外力撤去，求导体棒最终在导轨上静止时的坐标x。

析与解 审题可知，导体棒的速度在不断变化，导体棒的有效长度也在不断变化，受力在变化，导体棒做变加速运动，用牛顿力学结合运动学求位移显然不行。能否通过求面积来求得位移呢?求面积自然想到取微元再求和。取足够短的时间微元t，在t内导体棒的运动当作匀速运动处理，同时将微元过程导体棒的有效长度、回路中的电动势、电阻、电流等均视为一定，把微元过程回路变化的梯形面积视为矩形面积，再对这些矩形元求和。

取导体棒滑行时间t的微元过程，由动量定理得：

本题还可以用动能定理、能量守恒定律等求解，但基本思想方法都是取微元求和。

在用微元法求解过程中，要能洞察物理量之间的联系，如Itq，vtx，xxS，RθL，使式子向题中所求的结论或结果方向组合，而这点往往是整个题中的难点所在。同时对取微元后涉及到的物理量变与不变要有辩证的理解，如匀变速直线运动中，在时间微元t内可认为速度是不变的，但位移是变化的，如求非恒定电流的电量时，在时间微元t内可认为电流是不变的，但电量是变化的等。

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