顶盖驱动方舱流的动力学模态分解
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摘 要：为了研究顶盖驱动方舱流动的非定常流场结构，采用二维直接数值模拟（DNS）对流场进行计算，并运用动力学模态分解（DMD）进行模态分析。结果表明，当雷诺数为9 000时，流场表现出自持振荡的特征；动力学模态分解获得了基频和各阶倍频谐波下的速度场模态。揭示了由于剪切层不稳定和扰动反馈所引起的周向排列漩涡是导致流场产生自持振荡现象的主要原因；同时，嵌入大尺度漩涡中的小尺度扰动使得自持振荡存在倍频谐波。
关键词：动力学模态分解 直接数值模拟 自持振荡
中图分类号：U46 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）10（c）-0001-03
Dynamic Mode Decomposition of a Cubical Lid-driven Cavity Flow
Wang Han Wang Jianming
（Shenyang Aerospace University， Shenyang Liaoning， 110136， China）
Abstract：In order to research the transient flow structure of a cubical lid-driven cavity flow， two dimensional Direction Numerical Simulation （DNS） was used in the flow field computation. Dynamic Mode Decomposition （DMD） was conducted to analysis the dynamic modes of this velocity field with different order. The results show that this cubical lid-driven cavity flow exhibits intensely self-sustained oscillation at the Reynolds number of 9000， at the same time DMD is able to extract the main self-sustained oscillation dynamic feature and high-order harmonic modes from original flow fields. The dynamic velocity modes fully reveal the circumferentially arranging vortex pairs， which were caused by the unstable shear layer and the feedback perturbation is the underlying physical mechanism of self-sustained oscillation. Meanwhile， the distortion of the first order oscillation which was caused by the small-scale spatial perturbance embedding in large-scale spatial vortices， and give rise to the high order harmonic waves in the flow field.
Key Words：Dynamic Mode Decomposition； Direction Numerical Simulation； Self-sustained Oscillation
二维顶盖驱动方舱流动，可以用于简化由某一壁面引起的空腔内部环流[1]。从热力学角度分析，是典型的功热转化过程。该文选用二维顶盖驱动方舱流动模型作为DNS方法研究的载体。Navier-Stokes方程具有抛物型和椭圆型两个特性，尽管控制方程具有混合特性，但采用MacCormack格式进行时间推进求解是适定的。MacCormack格式是Lax-Wendroff格式的一个变种，在时间和空间上都具有二阶精度的显式有限差分格式[2]。由于MacCormack格式是最容易理解和实现的格式，同时得到的结果在很多实际应用中都有令人满意的结果，所以该文选用MacCormack格式直接求解Navier-Stokes方程。当雷诺数为6 000～8 000时，流动为转捩状态；当雷诺数达到10 000时，流动为局部湍流[3]。为了分析流场振荡产生的原因，该文应用动力学模态分解（DMD）技术对原流场进行处理[4-7]。
1 数值模拟
该文考虑二维剪切力驱动方舱流动，方舱为长宽均为L=1 mm的正方形区域，雷诺数（Re=ρVL/μ=9 000），壁面为无滑移恒定壁温边界条件，理想气体初始压力为101 kPa。顶盖运动方向与右侧壁面交接处被称为DUE，右侧壁面与下壁面的夹角处被称为DSE，左侧壁面与下壁面的夹角处被称为USE，顶盖运动反方向与左侧壁面交接处被称为UUE，4个区域如图1所示。
求解忽略体积力和体积热的二维守恒形式Navier-Stokes方程：定义Et为挝惶寤动能和内能的和，正应力与剪切应力为τxx、τyy、τxy、τyx，由Fourier定律得到热交换率。采用MacCormack显示时间推进求解离控制方程，并运用预测校正两步法保证在时间和空间上都具有两阶精度。运用网格Reynolds数的量级判断计算网格的尺寸： Re≤40-50；Re≤40-50。在满足网格Reynolds的条件，x和y方向分别设置200个节点，空间步长为0.5e-2mm。时间步长由（CFL）稳定条件决定。
2 动力学模态分解
设某一非定常流动的时-空速度场表示为，列向量表示第i时间层上流场参数的空间分布。设存在一线性变换矩阵A连接相邻两时间层上的流场信息：。若流动是线性系统，A是恒定值；若流动是非线性系统，A为恒定假设表示对此系统的线性正切近似[6，7]。矩阵A只能从流场的内在动力学机制中获得，所以DMD采用A的伴随矩阵S作为A的低维近似[6]。随着采集时间层的增加，能够更加精确地用之前的向量线性表示最后的向量，即：。矩阵形式为：
。其中，可通过求解极小最
小二乘解得到，r为误差向量；由于可以用线
性表示，所以能够将时空流场沿时间
方向平移：。
矩阵形式为：。其中伴随矩阵S的特征值包含了系统的时间推进特性；将时-空流场矩阵投影到矩阵S的特征向量上，即可到流场沿时间推进的空间模态：。
3 流场的自持振荡
由于粘性的影响，流体由顶盖剪切力驱动作用下撞击方舱右侧壁形成一股射流冲击方舱下壁面[1]，在方舱中形成稳定的初级涡，USE、DSE、UUE区域出现一定数量的次级涡。同时流线呈现出波浪状的摆动，初级涡剪切层内有周期性出现的局部高速区域，流场呈现出非定常现象；此外，USE、DSE、UUE区域次级涡的个数发生周期性的变化，也能直观地反映出顶盖驱动流的非定常特征，如图2所示。
将S矩阵特征值取自然对数：。ωj的虚部表征对应模态的相速度，包含模态的频率信息；ωj的实部表征对应模态沿时间增长、衰减的趋势。图3中大部分都落在零线附近说明绝大多数的模态在时间上中性稳定。
图4显示了方舱下壁面中心位置测量点上瞬时静压快速傅立叶变换的频谱特征。静压频谱出现一个波峰清晰的基频f1≈80922 Hz和它的3个倍频谐波f2、f3、f4。图4显示了各动力学模态相P系数与频率之间的关系，频率为f1、f2、f3、f4的4个模态在相关系数上出现峰值。
图5显示了频率为f1的一阶空间速度场模态，此模态的频率与方舱自持振荡压力脉动一阶频率一致，并且在原速度场中具有显著的相关性。由于流体的粘性和剪切层的不稳定性，当射流冲击方舱下壁面时形成了周向排列的漩涡，并沿着方舱壁面顺时针移动，这种扰动信息在顶盖带动作用下迅速减小，但持续保留在剪切层内，当下一次进入射流并冲击方舱下壁面时微小的扰动将在方舱底部诱发新的周向排列旋涡。
由于这种涡运动的存在，提高了剪切层中动量、热量和质量的传递速率；同时，相对于初级涡剪切层内流体层之间相对滑移引起的切应力外，增加了流体微团局部动量交换的切应力。即这种涡运动的存在使得闭口系统的耗散能力有了显著的提高，加快了流体动能向内能的转化。
图6、图7为频率为f2、f3的速度场模态；与一阶模态相似，此两阶模态在空间上均呈现出沿顺时针方向周期性出现的周向漩涡结构，漩涡的空间尺度随频率的增加而减小，同时与原速度场的相关性也随频率的增加而减小。这两个模态表征了由于一阶振荡畸变产生的高阶谐波；同时，在物理上代表了嵌入较大尺度漩涡中的各阶小尺度扰动[7]；高阶模态有可能是一阶自持振荡周向分布漩涡与空腔壁面的相互作用或是对周围环境流体的卷携作用所造成的。
4 结语
该文采用直接数值模拟（DNS）和动力学模态分解方法（DMD）对雷诺数Re=9 000的顶盖驱动方舱流动进行了分析。
在Re=9 000时，顶盖驱动方舱流动表现出自持振荡现象，这种振荡来源于方舱底部壁面与射流相互作用引起的周向排列漩涡结构。流动的自持振荡增加了摩擦阻力和动能的损失，提高了闭口系统的耗散能力，加快了流体动能向内能的转化，并加热方舱中心，通过等温壁面向环境散热。
一阶自持振荡模态中的周向排列漩涡与空腔壁面的相互作用或是对周围环境流体的卷携作用，产生嵌入大尺度漩涡中的各阶小尺度扰动，导致自持振荡存在各阶倍频谐波。
参考文献
[1] 王吉飞，万德成.三维顶板斜向驱动方腔流有限元并行计算[J].海洋工程，2015，33（2）：1-12.
[2] Maccormack RW. The Effect of Viscosity in Hypervelocity Impact Cratering[J].Journal of Spacecraft & Rockets，1969，40（5）：27-43.
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[7] Tang ZQ， Jiang N. Dynamic mode decomposition of hairpin vortices generated by a hemisphere protuberance[J].Science China Physics Mechanics & Astronomy，2011， 55（1）：118-124.