也谈在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的统一
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摘 要：椭圆、双曲线和抛物线方程一直是高考的热点，本文就如何在极坐标系中使椭圆、双曲线、抛物线方程达到统一，提出自己的观点.
关键词：极坐标；椭圆；双曲线；抛物线方程；统一
《数学教学通讯》（中等教育）2013年4期发表的郭新祝老师的论文《在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的统一》中探究的教材（苏教版选修4-4）中，给出的圆锥曲线极坐标方程仅仅是极点建立在椭圆的左焦点（双曲线的右焦点）情况下的方程，而对于另外三种形态，即极点分别建立在椭圆的右、上、下焦点的情况，则没有探究，下面笔者就带领大家一起去进一步探讨挖掘！
（一）如图1，当极点建立在椭圆的右焦点（双曲线的左焦点）时，
ρ=■（Ⅱ）
当0
当e=1时，方程（Ⅱ）表示开口向左的抛物线，定点F是该抛物线的焦点，定直线l是该抛物线的准线；此时，ρ=■，抛物线焦点极坐标为（0，0），顶点极坐标为■，0；抛物线准线方程为ρcosθ=p.
当e>1时，方程（Ⅱ）表示双曲线，定点F是该双曲线的左焦点，定直线l是该双曲线的左准线. 与方程（Ⅰ）情形相同，对于双曲线中的a，b，c结果也不变，即a=■，b=■，c=■，即双曲线的实轴长为■，虚轴长为■，焦距为■，此时，双曲线中心极坐标为■，0；双曲线的左焦点极坐标为（0，0），右焦点极坐标为■，0；双曲线的左顶点极坐标为■，0，双曲线右顶点极坐标为■，0；双曲线的左准线方程为ρcosθ=p，右准线方程为ρcosθ=■；
综上所述，对于方程ρ=■，当e≠1即方程不表示抛物线时，
有结论（）a=■，c=■，b=■；
？摇？摇？摇（）椭圆或双曲线的中心极坐标为■，0；
？摇？摇？摇（）椭圆的左（双曲线的右）焦点极坐标为■，0，椭圆的右（双曲线的左）焦点极坐标为（0，0）；
（）椭圆的左（双曲线的右）顶点极坐标为■，0，椭圆的右（双曲线的左）顶点极坐标为■，0；
（）椭圆的左（双曲线的右）准线方程为ρcosθ=■，椭圆的右（双曲线的左）准线方程为ρcosθ=p.
（二）如图2，当极点建立在椭圆的上焦点（双曲线的下焦点）时，如图3，
ρ=■（Ⅲ）
■
图2
当0
当e=1时，方程（Ⅲ）表示开口向下的抛物线，定点F是该抛物线的焦点，定直线l是该抛物线的准线；此时，ρ=■，抛物线焦点极坐标为（0，0），顶点极坐标为■，■；
抛物线准线方程为ρsinθ=p.
当e>1时，方程（Ⅲ）表示双曲线，定点F是该双曲线的下焦点，定直线l是该双曲线的下准线，此时，a=■，b=■，c=■；双曲线的实轴长为■，虚轴长为■，焦距为■；此时，双曲线中心极坐标为■，■；双曲线的上焦点极坐标为■，■，下焦点极坐标为（0，0）；双曲线的上顶点极坐标为■，■，双曲线下顶点极坐标为■，■；双曲线的上准线方程为ρsinθ=■，下准线方程为ρsinθ=p；
综上所述，对于方程ρ=■，当e≠1即方程不表示抛物线时，
有结论（）a=■，c=■，b=■；
？摇？摇？摇（）椭圆或双曲线的中心极坐标为■，■；
（）椭圆的上（双曲线的下）焦点极坐标为（0，0），椭圆的下（双曲线的上）焦点极坐标为■，■；
（）椭圆的上（双曲线的下）顶点极坐标为■，■，椭圆的下（双曲线的上）顶点极坐标为■，■；
（）椭圆的上（双曲线的下）准线方程为ρsinθ=p，椭圆的下（双曲线的上）准线方程为ρsinθ=■.
（三）如图3，当极点建立在椭圆的下焦点（双曲线的上焦点）时，？摇
ρ=■（Ⅳ）
当0
当e=1时，方程（Ⅳ）表示开口向上的抛物线，定点F是该抛物线的焦点，定直线l是该抛物线的准线；此时，ρ=■；
抛物线焦点极坐标为（0，0），顶点极坐标为■，■；抛物线准线方程为ρsinθ=-p.
当e>1时，方程（Ⅳ）表示双曲线，定点F是该双曲线的上焦点，定直线l是该双曲线的上准线. 此时，a=■，b=■，c=■，双曲线的实轴长为■，虚轴长为■，焦距为■，此时，双曲线中心极坐标为■，■或■，■，双曲线的上焦点极坐标为（0，0），下焦点极坐标为■，■或■，■，双曲线的上顶点极坐标为■，■，双曲线下顶点极坐标为■，■或■，■；双曲线的上准线方程为ρsinθ=-p，下准线方程为ρsinθ=■；
综上所述，对于方程ρ=■，当e≠1即方程不表示抛物线时，
有结论（）a=■，c=■，b=■；
（）椭圆或双曲线的中心极坐标为■，■；
（）椭圆的上（双曲线的下）焦点极坐标为■，■，椭圆的下（双曲线的上）焦点极坐标为（0，0）；
（）椭圆的上（双曲线的下）顶点极坐标为■，■，椭圆的下（双曲线的上）顶点极坐标为■，■；
（）椭圆的上（双曲线的下）准线方程为ρsinθ=■，椭圆的下（双曲线的上）准线方程为ρsinθ=-p.