探求无穷级数求和的几种常用方法

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摘要 本文从几方面探求高等数学中无穷级数求和的几种常用方法。

关键词 高等数学；无穷级数；求和

中图分类号O1 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2011）35-0091-02

无穷级数求和是高等数学的一个重要组成部分，它在函数的表达研究函数的性质求函数值以及求解微分方程等都是非常有用的，而收敛级数的求和在级数中占有很重要的位置。

设数列，称是无穷级数,作部分和数列..若极限存在，称级数收敛，和是s,;若极限不存在，称级数发散.本文考虑在级数收敛时，如何求和?常用求和方法可总结成以下几类：

1 利用级数收敛的定义求和

对于，先求出，再求极限。当极限存在且为s时，则。

例1 ：证明：级数

收敛，并求其和。

证明：级数的前项部分和

由于，所以级数收敛，其和是，即。

2 利用已知的级数的和，求其它级数的和

利用级数的四则运算和代数运算，将所求级数的和转化为已知的常用的级数的和，可以求出一部分级数的和。例如：

其中C为尤拉常数，且。

例2：已知。求和。

解：因为所以。

3 利用错位相减法求和

对于级数，写出.用一个适当的数q乘以sn，再算出或，进而求出sn，再求极限。

例3 ：证明级数收敛，并求其和。

证明：，两边乘以，再相加，得到，两边乘以，求出sn，再求极限.所以级数收敛，和是。

4 利用幂级数的性质求和

幂级数或在收敛区间的和函数连续，可以逐项求积，逐项求导等，利用这些性质可以求出一些级数的和。

例4： 求和。

解：级数的收敛域是.设和函数是s（x），即。

从0到x积分并逐项积分，得到

上式两边对x求导，得。

5 利用函数项级数的一致收敛性求和

当函数项级数在区间I上一致收敛且每一项都连续时，则和函数在I上连续，在I上可以逐项求积逐项求导等，利用这些性质可以求出一些级数的和或解决与求和相关的问题。

例5：设级数收敛，求。

解：由阿贝尔判别法得知，级数在上一致收敛，由于级数的每一项在上连续，所以。

6 利用傅立叶级数求和

对于以为周期或以为周期的函数f（x），当f（x）满足一定的条件时，f（x）可以展开为付立叶级数，或

其中an,bn为f（x）的付立叶系数。

利用此结论，可以求出一些和。

参考文献

[1]华东师范大学.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1989，6

[2]刘玉链，傅沛仁编.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1992，7.

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