高考函数考点预测
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常言道：知彼知己，百战不殆，我们备战高考同样如此，在近几年的广东课标高考中，函数这一传统内容都是考查的重点与热点，占分比例大，主要特点体现在以下三个方面：（1）全方位.函数的知识点在考查中都有所涉及，虽然高考不强调知识点得覆盖率，但是函数板快知识点的覆盖率依然没有减小；（2）多层次.在所命的高考题中，高、中、低档难度的题目都有，且题型齐全，低挡题一般仅涉及函数本身，如求定义域、求值、单调性、奇偶性、周期性、图像等，且对能力的要求不高；中高档难度题多为综合程度较高的试题，或者函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透；（3）变角度.出于“能力立意”和创设情境的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活. 2011年高考已过去，2012年高考函数问题怎样考是我们师生都相当关注的问题，预测2012年的高考会加强对下列几个方面的考查：（1）函数定义域；（2）函数的求值（值域）的求解与应用；（3）函数的性质；（4）指数函数、对数函数、幂函数；（5）函数的图像；（6）函数模型的应用；（7）数学思想方法在解答函数问题中的应用.
考向一、函数的定义域
因为在解答函数题时要时时遵循“定义域优先”的法则，所以定义域经常作为基本条件或工具出现在广东高考试题的客观题中，分值为5分左右，常借助基本代数式的意义及函数的性质来解决，而理请其中的关系是解题的关键，解答这类题有一定的规律可遵循，难度系数一般都不算大，同学们可要把这5分牢牢拿到手呵！不要轻易丢失!
例1． 求函数f（x）=＋的定义域.
解析：由x+1>0，｜x｜-x≠02－x２≥０，，可得x>－１，x
点评：本题主要考查函数的定义域,利用对数函数的真数为正数，分母部分不等于零，根式中的被开方数（式）大于（等于)零是解题的关键，给定函数的解析式求函数的定义域，往往归结于解不等式或不等式混合组，在解不等式组时要特别留心，可结合数形结合思想借助数轴求交集，并且要留心端点值或边界值的取舍.
考向二、函数的求值
函数的求值问题，在广东新课标高考试题中也是频繁出现，常常与其他知识进行交汇，具有一定的综合性，尤其是分段函数、复合函数的求值问题等，是考查考生能力的好题材，要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力.
例2． 已知实数a≠0，函数f（x）=x+2a,x
f（1-a）=f（1+a），求a的值.
解析：a>0时，1-a+2a=-2（1+a）-a,解得a=-，舍去；a
点评：本题主要考查分段函数的求值问题，理解分段函数的概念是解题的关键，注意分段函数是一个函数，不是两个或者三个函数，是自变量在不同取值范围内对应法则也不同的函数，求解分段函数最基本的策略就是“分段处理”.
考向三、函数的性质
函数的性质主要是指函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性，它们往往形影不离，近年来广东新课标高考对函数的性质的考查也是常考常新的，题型方面有客观题，也有主观题.预测2012年高考对函数性质的考查还是以单调性与奇偶性为重点，解答的方法以通性通法为主，当然，若是选择题，我们也可一些特殊的解法（如特殊值代入检验法，排除法），能起到快速解题的作用，但是大前提还是要熟练把握基本定义.
例3． 下列函数中，既是偶函数又是区间（0，＋∞）上的减函数的是（）
A. y=x3+1B.y=-｜x｜+1C.y=x2+1D. y=()-｜x｜
解析：方法1：常规法：由偶函数的知识容易排除A，因为y=x2+1在（0，＋∞）上是单调递增，排除C；因为 y=()-｜x｜=2｜x｜在（0，＋∞）上是增函数，排除D，故选B.
方 法2：特殊值代入检验法：分别取x=1与x=-1代进上述四个选项，可得13+1≠（-1）3+1，由奇偶性的定义可知A不合题意;分别取x=1,x=2,代入剩下的三个选项，可得12+1
点评：本题考查复合函数的奇偶性和单调性，熟练掌握函数的单调性与增减性定义是解答问题的关键，另外结合题目的特点（是选择题）能用特殊值代入检验法解答也不失为一种比较好的办法.
例4． 设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x，则f（-1）=()
A.-3B.-1 Ｃ.１Ｄ.３
解析：方法1：因为f（x）是定义在R上的奇函数，故f（-x）=-f（x），则有f（-１）=-f（１）=-（1-2）=1，选C.
方法2：因为f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=x2-2x，当x
-f（x），故f（x）=-x2-2x，则有f（-１）=-１+2=1，选C.
点评：本题考查函数的奇偶性，思路一是直接利用奇函数的性质，直接通过f（-1）=-f（1）计算；思路二是先利用奇函数的性质，先求出x
例5． 已知函数y=f(x)是定义在（-∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，且f（x＋3）•f（x）＋１＝０，f(x)在区间（-３，0）上单调递增，若a=f（２０.３），b=f（5），c=f（－２０１２），则a，b，c的大小关系是（）
A. a
解析：由f（x＋3）•f（x）＋１＝０，可得f（x＋3）=-，故f（x＋6）=-=-f（x），所以6是函数f（x）的一个周期.因为偶函数f（x）在区间（-3,0）上单调递增，所以函数f（x）在（0,3）上是单调递减的，而b=f（５）＝
f（－１＋６）＝f（－１）＝f（1）；f（-2012）=f（2012）=f（6×335+2）=f（2），因为20
点评：本题主要考查抽象函数的单调性、奇偶性、周期性的推导与性质的综合应用.先根据已知条件推导函数的周期性，根据函数的奇偶性与周期性确定函数在（０，３）上的单调性，然后利用函数的周期性和奇偶性把自变量转化到该区间中，利用单调性比较函数值的大小.
考向四、指数函数、对数函数、幂函数
从近几年的考题来看，广东高考对这三个函数的考查主要是以客观题的形式，主要考查指数函数、对数函数、幂函数的定义域、值域、单调性、图像三个方面的问题，也常与其他问题相结合进行综合性地考查，如与数值的大小比较、求取值范围相结合等，均属中等题目，难度都不算大.
例6． 设函数f（x）=2x-1,x≥1x2-1，x
A. （０,2]B. （０,1]C.[2,+∞）D.[1,+∞）
解析：方法1：常规法：不等式等价于x≥1，2x-1≤2或x
方法2：特殊值代入检验法：不妨取x＝４，则有
２４－１＝２３＝８>2，不合题意，排除C,D;又因为x＝２时，２２－１＝２，符合题意，排除B,故选A.
点评：常规解法尽管思维严谨，但是运算过程比较复杂，“正难则反”，对于某些正面难于解决的问题，若从方面考虑，往往能峰回路转，迎刃而解，本题采用特殊值代入检验法，从排除选择项入手，逐个排除，能快速找到答案.
例7． 若函数f（x）=loga（x2-ax+3）（a>0且a≠1）满足对任意的x1，x2,当x10，求实数a的取值范围.
解析：依题意可得函数在x11,g（）>0，解得1
点评：解决与对数函数有关的问题要特别注意对数函数的定义域，这是研究对数函数的性质、判断与对数函数相关的复合函数图像的重要依据，在运用对数函数的单调性时要注意底数的大小.
考向五、函数图像及其特征
函数图像是从“形”的方面刻画函数的变化规律，既可以看成是函数的一种特定表示方法，又是用来分析和解答函数问题的重要途径，因而函数的图像题也成为高考命题的热点，考查的方式主要以下几种：知式选图、知图选式、图像变换，以及运用图像解题等,预测2012高考的命题方向主要有以下几个：（1）指数、对数、幂函数的图像的有关问题；（2）二次函数图像的有关问题；（3）导数图像的有关问题；（4）函数图像的综合应用.
例8． 函数y=（０
（）
解析：因为y==ax,x>0-ax,x
点评：本题是与指数函数有关的知式选图问题，是高考的常见题型，解答这类题目的关键是先从已知的函数式入手，看看已知函数满足哪些性质，若是奇函数，则函数的图像关于原点对称；若是偶函数，则函数的图像关于轴对称；我们也可以判断函数是否具有单调性，从图像的上升与下降角度来判断；还可以从特殊点，特殊值入手来检查函数是否经过某一个点.
例9． 已知函数f（x）=, x≥4（x-3）3,x
是 .
解析：设g(x)=k，如下图，画出f（x）与g(x)的图像，由图像可知f（x）在[4,+∞)上单调递减且值域为(0,1]，f（x）在（-∞,4）单调递增且值域为（-∞,1），g（x）的图像是一系列平行于轴的直线，关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根等价于两个函数的图像有两个不同的交点，根据图像我们可得实数k的取值范围是（0,1）.
点评：本题是知式画图，图像变换问题，主要考查利用函数的图像来处理方程的根问题，解答这类问题的关键是熟练画出函数的图像，掌握函数图像变换的规律，如f（x）=(x-3)3(x
f（x）=x3(x
考向六、函数模型的应用
函数的模型的应用是高考数学考查函数知识的又一个热点，函数的模型应用问题就是与函数知识为背景设计的，涉及一次函数、反比例函数、二次函数、分段函数，以及形如y=ax+等语言函数的实际应用问题，解答此类问题的关键是从建立函数表达式入手，将实际问题数学化，即把文字语言向数学的符号语言或图形语言转化，最终构建函数的数学模型，在题目给出的实际定义域内求解，要注意仔细分析，捕捉题目中的重要信息.
例10． 一种特色农产品上市时间能持续5个月，预测上市初期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而后期又将出现供大于求使价格连续下跌，现给出三种价格模拟函数：
① f（x）＝p•qx；② f（x）＝logqx+p；③ f（x）＝-x2+px+q；
（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数？
（2）若f（1）=9，f（6）=2（其中表示第1个月，6表示第6个月），试求函数f（x）的解析式，并求出价格的最大值？
解析：（1）由已知特色农产品的价格先上涨，再下跌，反映到函数的图像上就是先是增函数，然后是减函数，根据我们所学过的知识可以知道 f（x）＝p•qx与 f（x）＝logqx+p要么是单调增函数，要么是单调减函数，不可能是先增后减，为此我们选f（x）＝-x2+px+q为价格模拟函数.
(2)依题意可得-1+p+q=7…… （１）-36+6p+q=2…… （２），解得p=6，q=2.
所以f（x）=-x2+6x+2=-（x-3）2+11，当x=3时，取得最大值11，故价格的最大值为11.
点评：函数模型选择问题的最主要方法是待定系数法，本题通过利用所学过函数的性质来确定模拟函数.在分析实际问题的题意的基础上建立函数的模型时，一定要选择好自变量，同时要注意自变量的取值范围，这是解决实际问题的关键,将实际问题转化为数学问题时，在转化的过程中容易产生漏洞，往往只是就某几方面去讨论，忽略了全面地看问题，容易导致错误.
考向七、利用数学思想方法解答函数问题
数学思想是数学知识在更高层次上的概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中.数学思想主要有化归与转化思想、整体化思想、特殊与一般化思想、数形结合思想、函数与方程思想、补集思想等，数学思想在函数问题中的应用是相当广泛的，在解答函数问题时能适时利用数学思想方法解题能起到快速解题的作用.
例11． 已知函数f（x）=3x2-mx+3m-5对满足-1≤m≤1的一切m的值，恒有f（x）
解析：令g(m)=（3-x）m+3x2-5，-1≤m≤1,函数
f（x）=3x2-mx+3m-5对满足-1≤m≤1的一切m的值，恒有
f（x）
点评：在解题过程中能否熟练进行转化是题目“明朗化”的关键所在，本题通过主元、客元之间的转化，起到了化繁为简的作用，化归与转化思想在解题中的作用是相当大的，自觉地利用化归与转化思想解答函数问题有助于提高解题的能力和速度.
例12．函数f（x）=｜ln（2-x）｜在其上为增函数的是
（）
A.（－∞，１] B. ［－１，］
C.［０，） D.［１，２）
解析: 解法1:通性通法:当１
解法2：特殊与一般的思想方法：不妨取x=0，得f（0）=ln2,取x=1,得f（1）=ln1=0，显然f（0）>f（1），因为选项A,B,C都包含有x=0与x=1这两个值，故排除A,B,C，选D.
点评：本题主要考查带绝对值符号的函数的单调性，通性通法是根据绝对值意义去绝对值符号，涉及到分类讨论，过程相对比较复杂，而解法2则是抓住区间[0,1]是A,B,C选项的子区间，取两个特殊值进行代入检验不失为一种解题的快捷途径，对于选择题来说这样解题更好，时间短，速度快，但是同学们一定要加强这类题的训练才能达到这样的要求.对于具有一般性的数学问题，如果在解答过程中感到“进”有困难或无路可“进”时，不妨利用特殊与一般化思想，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊情况，从而更顺利地解答问题.
（作者单位：广东省五华县五华中学）
责任编校 徐国坚