高考立体几何中的热点透视
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若某几何体的三视图（单位：cm）如图1所示，则此几何体的体积是__________cm3.
解析 本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属于容易题；值得注意的是出错的考生往往对计算不仔细以及对几何体识别有误，易得体积为144 cm3.
点评 三视图是新课标实验教材的新增内容，对空间想象能力要求较高，从这一点看，新教材与老教材对学习立体几何的主要目标是不变的. 不过新教材的编排顺序与老教材正好相反，它是先安排柱体、锥体、台体、球体等内容，然后再学习空间中的线线、线面位置关系.从本题我们可以深刻地感受到：一旦将一个复杂的、抽象的问题落实到具体的、熟悉的图形中，将会变得非常简单. 由三视图想象出几何体的直观图，考查最基本的空间想象能力，是学习三视图的基本要求.
如图2，半径为R的球O的直径AB垂直于平面α，垂足为B，BCD是平面α内边长为R的正三角形，线段AC，AD分别与球面交于点M，N，那么M，N两点间的球面距离是（ ）
点评 本题利用球体与三棱锥的关系求解. 球面距离的核心问题是解决球心角，通过转移到对三棱锥中三角形的分析来解决.正因为如此，近两年的高考中经常出现球体与特殊多面体的切接问题. 这类问题多以选择题、填空题的形式出现，具有一定的创新性. 补形法、构造法常常能帮助我们速战速决.
（1）证明：MN∥平面ABCD.
（2）过点A作AQPC于Q，垂足为Q，求二面角Q-MN-A的平面角的余弦值.
解析 （1）连结BD，AC相交于点O，由于M，N分别为PB，PD的中点，所以MN∥BD，而BD？哿平面ABCD，MN？埭平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.
点评 用传统方法解决立体几何问题的关键是自然地画出辅助线，对于本题须作出二面角Q-MN-A的平面角. 许多考生由于对于如何作二面角的平面角的“基本套路”不是很熟悉，所以觉得无从入手；有的考生虽然能比较顺利地作出二面角的平面角，但在计算平面角的大小时没有把立体几何问题化归为平面几何问题的意识，或解三角形的功底不是很好，最后结果还是“千呼万唤不出来”. 有许多考生选择用空间向量的方法解决，由于没有注意到图形的对称性，建立的空间直角坐标系不是很合理（如以AD，AP所在的直线为其中的两条坐标轴），最后陷入繁杂的运算而不能自拔.
（1）求二面角B-AF-D的大小；
（2）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.
（2）连结EB，EC，ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD. 过H作HP平面ABCD，P为垂足. 因为EA平面ABCD，FC平面ABCD，所以平面ACFE平面ABCD，从而P∈AC，HPAC.
点评 本题主要考查线线、线面、面面的位置关系，二面角及其计算，以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力及利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力. 第（2）问形式新颖，求两个几何体公共部分的体积在高考中出现不多，关键是发现AE与CF平行，找到两个几何体的公共点H. 空间中线线、线面、面面关系是立体几何的核心内容，其中又以线面的平行与面面的垂直问题为重点. 要熟练掌握线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理. 不难看出，作为一道解答题考查的仍然是立体几何最基本、最重要的知识.
如图5，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 一条直线
D. 两条平行直线
解析 根据条件使得ABP的面积为定值，由于AB是一定的线段，所以只需满足点P到直线AB的距离为定值即可. 易知本题答案为B. （若AB垂直α，则P的轨迹为圆）
点评 本题立意新颖，构思别出心裁，对空间想象力和抽象思维能力的考查达到了较高要求，耐人寻味. 考查在空间中与点距离相等的轨迹为球，与线距离相等的轨迹为圆柱等模型，考查被平面所截的截面轨迹问题. 若遇到与定直线所成的角为定值，则可联系圆锥进行思考. 因此解决本题的关键是在立体几何中如何构造一个合理的几何图形.
（1）求二面角A′-FD-C的余弦值；
（2）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长.
解析 （1）如图7，取线段EF的中点H，AF的中点G，连结A′G，A′H，GH.因为A′E=A′F及H是EF的中点，所以A′HEF.
又因为平面A′EF平面BEF，所以A′H平面BEF，又AF？奂平面BEF，故A′HAF.
又因为G，H是AF，EF的中点，易知GH∥AB，所以GHAF.
于是AF平面A′GH，所以∠A′GH为二面角A′-DF-C的平面角.
点评 本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角的基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力. 本题将平面图形通过折叠变成立体图形，让静止问题动态化，使得对立体几何的考查显得更加丰富多彩. 解决此类问题的关键是：对折叠前后两个图形进行观察，弄清折叠前后，哪些位置关系与度量关系没有变化，哪些位置关系与度量关系有变化. 复习中要注重从多角度、多层次、多侧面思考与探究，沟通相关知识与方法之间的内在联系，训练发散思维能力.
考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）
点评 解本题的关键是发现正方体6个面中心的特征，即正八面体的6个顶点，再利用正八面体的6个顶点的性质和古典概型求概率，即可获得结论. 立体几何与概率的交汇，是近两年高考对立体几何考查的一种新题型，并常常放在高考卷中选择题和填空题靠后的位置，内容新、背景新，有一定的难度.
如图9，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC，在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是________.
解析 （方法一：函数思想）设EF=x（0
点评 本题是2009年浙江省高考理科数学卷填空压轴题，若考生能抓住此类问题通常以建立函数关系为主线，则可以对问题分析多一份理性的思考；此外，若考生能首先从两个极端入手，做到处变不惊，则利用极限思想能更优美地解决问题.如今的立体几何考题已逐渐摆脱单一的局势，逐渐向多样化、多角度发展，考查综合运用知识的能力. 复习中要注重从多角度、多层次、多侧面思考与探究，沟通相关知识与方法之间的内在联系，训练发散思维能力.
大家知道：在平面几何中，ABC的三条中线相交于一点，这个点叫三角形的重心，并且重心分中线之比为2∶1（从顶点到中点）.
据此，我们拓展到空间：把空间四面体的顶点与对面三角形的重心的连线叫空间四面体的中轴线，则四条中轴线相交于一点，这点叫此四面体的重心. 类比上述命题，请写出四面体重心的一条性质，并说明理由.
解析 四面体重心的一条性质：空间四面体的重心分顶点与对面三角形的重心的连线之比为3∶1（从顶点到对面三角形的重心）.
事实上，如图10，AE，BP为四面体的中轴线，P，E分别为ACD，BCD的重心，连结PE.
因为AP∶PF=2∶1，BE∶EF=2∶1，所以AP ∶PF=BE∶EF，PE∥AB. 因为AG∶GE=BG∶GP=AB∶PE=3∶1.
点评 本题将三角形的中线与重心分别类比空间四面体的中轴线和重心得到结论. 将“平面图形的性质类比到空间，探求相应的空间图形是否也有此类似的性质”，属于立体几何开放题. 这种开放题往往以平面图形的性质及其证法为基础，融探索、猜想、证明于一体，能有效考查空间想象能力、类比联想能力、合情推理能力以及创新能力，在近几年的高考中常常以创新题的面貌出现，复习中不容忽视.
综上，立体几何试题分值约占全卷总分值的14%左右，线线、线面、面面位置关系问题分值占全试卷总分值的10%左右，一般是一道客观题、一道主观题，多为中等难度.
命题热点主要有：
（1）线线、线面、面面的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现.
（2）角的计算，异面直线所成的角、线面角、二面角都是考点，解决办法往往转化为两条相交直线所成的角.
（3）距离的计算，多为点点距离与点面距离，以点面距离为多，也要注意球面距离.
（4）逻辑思维能力，解答题中的“先证后算”最为突出，应注重环节严谨，条理清晰.
（5）传统法与向量法的选择能力. 一般说来，辅助图形少，易于转化为平面问题的，往往可考虑采用传统法解决. 将问题设置为动态探究型是一种方向，值得关注.
由上我们可以看到，尽管高考立体几何试题总体难度有所下降，但由于新课标教材体系、结构、内容的变化和高考能力立意思想的加强，使新课标高考和大纲版高考中立体几何问题的题型、内容、背景、设置方式以及解题方法都有较大的变化，与相关知识交汇的力度也在不断加大，立体几何问题在选择题或填空题中的位置逐渐后移，并常常作为选择题或填空题的压轴题，以创新题的形式出现在试卷之中. 因此，我们在切实掌握基础知识、基本技能和基本方法的基础上，还要重视动手操作能力的训练和对新题型的探究，在高考中以不变应万变.