浅谈微积分教学中的“问题情境”
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摘 要：本文将微积分概念融入到具体而生动的“问题情境”中，在问题情境化教学中帮助学生认知微积分实质，构建微积分知识体系，体会其数学思想，进而帮助学生形成数学应用意识，培养学生主动探究的精神，最终帮助学生形成良好的情感态度和价值观。
关键词：微积分 问题情境 构建 教学
中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）04（b）-0145-01
所谓的问题情境化教学，主要是以提出问题，分析问题，解决问题为线索，并把这一线索始终贯穿于整个教学过程。问题情境化教学的意义就在于通过从学生感兴趣的问题入手，激发学生积极思考，使学生根据已有的知识和经验，形成自己对问题的认识和理解，并从中获得新知识，培养解决问题的能力。
下面我们主要从四个“问题情境”谈一下微积分的概念教学。
我们知道极限思想贯穿整个微积分的始终，是微积分的基本思想。因此，帮助学生构建极限思想是微积分教学首要的基本任务。
学生对知识的接受是一个获得经验、思维投入的过程，是一个积极建构的过程，让学生经历和探索“问题情境”，可以促进知识的理解，积累数学活动的经验[1]。从历史上看，我国古代的截丈问题“一尺之棰，日截其半，万世不竭”，还有刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，这些具体而生动的“问题情境”都包含了极限的重要思想，由于历史原因，我们没有进一步研究探索，因而错失了发现微积分的良机。教师既要结合历史又要构造生动的“问题情境”将极限思想映射其中，学生们就会在生动的问题情境中体会极限思想。在结合情境体会极限思想时，我们会不约而同地与古代数学家再现，并构建极限概念。反过来，学生们也会按照极限概念去寻找生活中的具体情境，将极限思想投射到具体情境中去，举一反三，使学生们牢牢把握极限思想。
通过“问题情境”构建起来的数学概念，不仅可以使学生生动自然地完成知识目标，培养数学应用意识，而且还可以引起他们的学习兴趣，培养他们主动探索的精神，进而完成课程的情感目标。下面我们再以“微分”教学中的“问题情境”来感知数学情境化教学的魅力。
2 “微分”教学中的“问题情境”
一元函数微积分主要包括一元函数微分学和一元函数积分学。一元函数微分学主要寄寓于物理中变速直线运动的瞬时速度和几何中平面曲线的切线斜率这两个问题情境。
还原经典情境，让学生亲历知识形成、发展和重组过程，可以更好地培养学生主动探究知识的意识。我们知道，在学习导数概念时，当教师设置好引人入胜的变速直线运动学习情境时，学生就可以通过测量或者电脑模拟来观察平均速度逼近瞬时速度的过程，也就是路程函数的平均变化率趋近瞬时变化率的过程。教师的关键在于，通过引导，让学生自主地发现并建构这一极限过程。通过这个“经典情境”，学生不仅可以自主地建构导数概念的数学模型，还可以不由自主的体会极限的思想方法。从而促进学生形成运动变化的观点，为进一步促成这一哲学观点，教师又可以通过数学史上切线定义的历史演变，引入平面曲线的切线斜率这一问题情境，帮助学生建构导数概念的数学模型。比较这两个问题情境的共性，抽象出导数概念，可以培养学生概括抽象问题的能力。如果关注这两个问题情境中的具体函数，就要解决导数的计算问题，帮助学生建构基本导数公式和导数的运算法则就成为自然的事情了。如果关注问题情境中函数增量的近似计算，引入微分概念的数学模型就很自然了。对一元函数来说，可微和可导是等价的，一元函数微分学的知识框架就基本建构起来了。
通过数学史上的“问题情境”，还原数学概念的形成过程，既可以形象地帮助学生构建知识体系，又可以培养学生的数学发现意识，还可以促进学生世界观、价值观的形成。“积分”教学中的“问题情境”会进一步体现这一观点。
3 “积分”教学中的“问题情境”
一元函数积分学是一元函数微积分的另一个重要组成部分。一元函数积分学主要寄寓于平面图形的面积和变速直线运动的路程这两个问题情境。
众所周知，不定积分实际上是导数和微分的逆运算，因此，一元函数积分学的主要内容是定积分及其应用。定积分概念产生的问题情境是求不规则平面图形的面积和变速直线运动的路程。教师可以根据实际情况将这两个问题情境装饰得生动有趣，尽可能地吸引全体学生参与进来，并使他们积极主动去探求平面图形的面积和变速直线运动的路程。通过把不规则平面图形划分为曲边梯形，进而把求不规则的平面图形的面积划归为求相对较规则的曲边梯形的面积。通过求曲边梯形面积的过程：分割、近似代替、求和、取极限，使学生形成化整为零，以均匀近似代替非均匀，积零为整取极限的积分思想，实际上这也是求连续非均匀变化总量的通用方法。类似的还有变速直线运动的路程这个问题情境。通过以上两个问题情境，帮助学生建构定积分的概念，定积分实际上是一种无限求和[2]。如果关注问题情境中的具体函数，就要解决定积分的计算问题。通过建构牛顿―莱布尼兹公式解决定积分的计算以后，进一步关注这两个问题情境，将用定积分求连续非均匀变化总量的方法提炼出来，形成微元法以达到拓展和应用的目的。这样，一元函数积分学的知识框架也基本建构起来。
在微积分的教学实施中，应尽可能地展现微积分的形成与应用过程，即以“问题情境―― 建立模型―― 解释、应用与拓展”的模式展开所要学习的数学主题，使学生在了解微积分知识来龙去脉的基础上，理解并掌握相应的学习内容，进而形成对微积分的数学应用意识。
4 “微积分基本公式”中的“问题情境”
一元函数微分学和积分学都涉及到“变速直线运动”这个问题情境，“变速直线运动”是否可以将微分和积分链接在一起呢？
一元函数的导数与微分主要是解决连续非均匀变化过程中的瞬时变化率问题和部分增量的近似计算问题，而定积分是解决连续非均匀变化过程中的总量问题。也就是说，微分与积分都与连续非均匀变化过程有关。而变速直线运动是典型的连续非均匀变化，在变速直线运动中，我们通过微分学的知识知道，路程函数的导数是速度函数。如果考察变速直线运动在某一时间段的路程，它可以用速度函数在这个时间段上的定积分来计算，也可以用路程函数在这个时间段上的增量来表示，它们是同一个路程，应该相等。这就是牛顿―莱布尼兹公式，它把微分学和积分学联系在一起，因此也称为微积分基本公式。通过变速直线运动这个问题情境，就可以把微分和积分联系起来，微分和积分的关系也随之在学生的知识体系中建构起来。
综上所述，我们从四个方面的“问题情境”探讨了微积分的概念教学，通过这些情境化教学，我们有助于学生更好地掌握微积分的基本知识和技能，有助于培养学生主动探究的意识，有助于增强学生对微积分的数学应用意识，有助于学生形成良好的情感态度。
参考文献
[1] 顾继玲.关注过程的数学教学[J].课程・教材・教法，2010（1）：70-74.
[2] 刘书田.高等数学[M].北京：北京大学出版社，2004：147.