一类一元二次方程应用题的解法分析

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我们知道，从n边形的一个顶点出发，除了自己这个顶点和与自己相邻的两个顶点不能连成对角线这三条线段之外，从n边形一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，因为n边形共有n个顶点

，所以对角线总数为n(n-3)，但其有一半是重复的，所以就再除以2得：

n（n-3） 2 ，所以n边形的边数与对角线总数的和为n+

n（n-3） 2 = n（n-1） 2 .九年级“实际问题与一元二次方程”中，有一种题型人们称其为“握手问题”，我们把n个人握手可以看成是n边形的各个顶点连成的n边形各边与对角线总数的和形成的图形，这样就能够做到不重不漏，也就完成了数学建模.因为 n(n-1) 2 表示多边形边数与对角线总数的和是“单层的”，但有时会出现诸如“赠送照片互赠一张”的多边形边数与对角线总数的和是“双层的”的问题，学生在什么时候除以2、什么时候不除以2容易混淆，究其原因还是没有深刻的理解题意造成的.先请看课本原题.

例1 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？

（人民教育出版社九年级数学上册29页习题）

评析 ：根据求多边形边数与对角线总数的和的原理，这个数学模型的

总数 n(n-1) 2 是“单层的”，即甲向乙握手一次，乙就不必再同甲再握手一次.

解 ：设有x人参加聚会.

根据题意列方程为： x(x-1) 2 =10，

解得：x1=-4（不合题意，舍去），x2 =5.

例2 要组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？（人民教育出版社九年级数学上册25页例题）

评析： 此题还可以这样分析：每两队之间只进行一场比赛，设邀请x个队参赛，每个队都要与其他（x-1）个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以要把x（x-1）这个比赛的总场次除以2，由全部比赛的场数为4×7=28场来列方程求解即可.

解 ：设邀请x个队参赛，每个队要与其他（x-1）个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛共 1 2x（x-1）场.

列方程 1 2 x（x-1）= 28.

解得x1 = -7（不合题意，舍去），x2 = 8.

例3 参加一次足球联赛的每两队之间要进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？（人民教育出版社九年级数学上册48页习题）

评析 ：同样是球类比赛，此题与例2的不同之处在于“每两队之间要进行两次比赛”，如果设共有x个队参赛，则每个队都要与其他（x-1）个队各赛2场，由于甲队对乙队的比赛一次，乙队还要同甲队进行一场比赛，因此x（x-1）这个比赛的总场次就不除以2，

根据已知条件共要比赛90场列方程即可.

解： 设共有x个队参赛，每个队要与其他（x-1）个队各赛2场，由此列方程：

x（x-1）=90，

解得x1 = -9（不合题意，舍去），x2=10.

例4 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？（人民教育出版社数学九年级上册43页习题）

评析 ：本题要深刻理解“每两家公司之间都签订了一份合同”这一已知条件，即甲公司向乙公司签订的合同与乙公司向甲公司签订是同一份合同，因此n(n-1)要除以2，根据求多边形边数与对角线总数的和的这个数学模型，列方程解应用题即可.

解 ：设共有x家公司参加商品交易会，依题意列方程为：

1 2x（x-1）=45，

解得x1=-9（不合题意，舍去），x2=10.

练习：

1. 为庆贺新年，某宿舍的所有成员都互赠贺卡各一张，一共送出贺卡56张，则这个宿舍共有多少人？

2.春节期间，某班级一个小组有若干人，恭贺新春互发短信一个，已知全组共发短信132条，问这个小组共有多少人？

答案 ：1.8 2. 12