解题后如何反思

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高中数学新课程标准倡导积极主动，勇于探索的学习方式．数学解题活动是一个由联想所学知识，运用数学思想方法，确定解题切入点、监控解题调节点，审视解题反思点，不断由低级向高级逐步抽象的复杂心理过程．其中，解题反思是数学活动的核心动力，是同化、探索、发现、再创造的过程．适时的解题反思可以深化学生对知识的理解，优化学生解题思路，提高学生思维灵活性，帮助学生理解问题本质，提升解题境界．那么，应该如何进行解题反思呢？以下举例说明．

一、反思错误原因，深化知识理解

在解题过程中，由于对知识的理解存在偏差或者是缺陷，或者受到某些信息的主导和干扰，导致不能够周密的思考问题，从而导致解答出现错误．通过反思错误原因，找出问题所在，可以帮助学生弥补知识上的漏洞，纠正理解上的偏差，深化对知识的理解，全面掌握所学内容．

例1 求 的值域．

错解： ，值域是 ．

反思：这是一类典型错误，在教学过程中应及时让学生思考：错在哪里？出错的原因是什么？怎样才能解决问题？通过反思错解，可以发现 中等号不可能成立．出错的原因是因为没有注意到运用均值不等式求最值时须满足“一正、二定、三等”的条件．

解析：利用换元法：令 ，则 ，由 在 是增函数可知， ．所以，值域是 ．

二、反思解题策略，优化解题思路

数学解题总是会使用某些解题策略，解题策略的选择与运用对于解题过程的繁简起着决定性的作用．解题结束后对解题策略进行反思，多角度思考问题，探索是否还有其他解法，通过对不同解题策略的比较，及时总结解题技巧，增强解题过程中对解题思路的调节和监控的意识和能力，从而达到优化解题思路的目的．通过对解题策略进行反思，能够让学生对不同解题策略进行对比分析，作出合情合理的选择，优化解题思路，从而增强学生对解题过程中监控的意识和能力．

例2 若 ， ，且A，B均为钝角，求A+B的值．

解：A为钝角， ，同理 ，

①

又 ，且 ，同理

② 由①②知， ．

反思：学生在解答此题时，还可能因为没有得到 ，而导致产生增根 ．本题解题过程较繁琐，可以引导学生思考：要求出 ，除了求 的正弦外，还有那些选择？哪种解法更简洁？经过思考，学生不难发现还可以通过求出 、 来求解 的值．学生比较三种不同策略后会发现：已知条件是角 的正弦，通过求 来求 的运算量较大，由于 ③，因此， 在 是减函数， 是增函数，即 不是单调函数，而 在 是单调减函数，因此，求 最为简洁．根据 ，结合③知， ．

三、反思实质异同，促进理解本质

数学问题形式多样，有些问题虽然形式不同，但可归结到为一类问题，通过对这类问题的反思，比较问题形式上的异同，剖析问题解题方法的实质，从而深刻理解数学问题及其解法，并通过对问题和解法进行归类，总结出通解通法，从而理解问题的本质，避免陷入题海．

例3若设 在 上存在单调递减区间，求 的取值范围．

解： ，问题转化为 在 有解，即 在 有解，令 ，则 ， ．令 ，则 转化为 ，易知 的值域为 ．因此， 的取值范围是 ．

反思：本题将函数的单调性转化为不等式有解的问题，解题结束后，可以引导学生与以下问题对比：①已知关于x的方程 在 有解，求 的取值范围．②已知关于x的方程 在 有解，求 的取值范围．③求函数 ， 的值域．经过思考，学生不难发现：上述问题的其本质是相同的，都是围绕着求函数 ， 的值域而进行变化和引申，核心问题解决了，其他问题就迎刃而解了．

四、反思一题多解，促进灵活思考

解题结束后尝试运用不同的数学思想方法，探索是否还有其他解法．通过尝试一题多解，能够让学生多角度思考问题，可以使学生对知识有系统和深刻的理解，提升学生对知识的灵活运用能力．促进学生灵活思考，增强学生思维的灵活性．

例4已知向量 ，对任意t∈R，恒有 ，则（ ）

A． B． C． D．

解法一：由 得， ，而

即 对任意t∈R恒成立，因此，

，从而 ，即 ．因此， ．

反思：学生在解答此题主要是运用了化归与转化的数学思想，运用上述方法仍然停留在代数的角度，且上述算法有一定的运算量，对向量的数量积和模等知识要求较高．在教学时可引导学生思考：既然向量有代数和几何两种表示，能否利用数形结合从几何角度思考呢？联想向量的减法和数乘运算的几何意义，可以认识到： 是 ，t∈R中长度是最短的．根据几何意义可以得到以下解法二．

解法二：如图1，几何意义是： 是 ，t∈R中长度是最短的．而点到直线的垂直距离最短，因此 ．

五、反思问题拓展，提升解题境界

数学问题求解完成后，从不同角度对问题进行反思，譬如，逆命题是否成立？能否改变条件？结论能否加强？结论能否推广？经常进行这样的思考，有利于深化学生对数学知识的理解，增强学生运用知识的能力，增强学生能够对问题的整体把握能力，提升学生解题的境界．

例5已知向量 满足条件 ， ，求证： 是正三角形．

证明：如图2，设 ，由 知，则 ， ，则 是正三角形，从而 ，同理

．因此， 是正三角形．

拓展１：点O是 所在平面内一点， ，则点O是 的（　）

A．重心

Ｂ．内心

Ｃ．外心

Ｄ．垂心

拓展１和原题比较削弱了条件，根据 ，设点Q是 中点，则 ，很容易知道点O是重心．

拓展2：点O是 所在平面内一点， ，则 的面积与 的面积之比是（　）

A．２

Ｂ．1.5

Ｃ．3

Ｄ．

拓展2和拓展1原题比较将条件进一步削弱，并改变了问题，易知点Ｏ不是重心，这时可将问题向拓展1转化，延长 至 ，使得 ，延长 至 ，使得 （如图3），则 ，点O是重心．因为 ， ， ．上述三式相加得， ，故有 :1．

拓展3：点O是 所在平面内一点， ，其中 是正数，求 ．

拓展3和拓展2原题比较将条件推广到一般情况，类比拓展2的解法，可求得 ．

综上所述，数学问题解决后，应该引导学生进行从解题错误原因、解题思维策略、问题实质异同、一题多解和问题引申拓展等多种角度进行观察、联想、分析、思考，教给学生学习的方法，让学生学会自主学习，摆脱题海的束缚．通过解题反思，能够让学生查漏补缺，纠正认知偏差，巩固基础知识，形成完整的知识网络，提高学生分析和解决问题的能力，促进创新思维能力的发展和提高。