例析直角坐标系中等腰三角形第三顶点的确定

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中考试卷中，经常出现已知平面直角坐标系中的两点，在已知图形上来找第三点，使得以这三点为顶点的三角形为等腰三角形。由于第三点的图形未知，一些同学感到难以下手，还有一些同学能做到答案，不过答案不完整，究其原因，实质是未能掌握解决问题的一般方法，从而出现错解与少解。

平面直角坐标系中，已知等腰三角形的两个顶点，实际上等腰三角形的一条边已经确定，但这条边是腰还是底，就影响着第三个顶点的位置，必须分类进行讨论：如果这条边是等腰三角形的底边，那么第三点在这条边的垂直平分线上（与边的交点除外）；如果这条边是等腰三角形的腰，那么第三点在分别以已知两点为圆心，这条边的长为半径的圆上（与过已知点的直线的交点除外）。具置应看相关直线、圆弧与已知图形的交点位置。

例1：在平面直角坐标系xoy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（ ）。

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

分析：由题意知O、P为定点，画OP的垂直平分线与y轴有一个交点；以P为圆心，OP为半径画圆与y轴有两个交点，其中O点要去掉；以O为圆心，OP为半径画圆与y轴有两个交点。符合条件的动点Q有4个。解：选B。

例2：在平面直角坐标系中有两点A（-2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若BAC是等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）。

A、6个 B、8个 C、9个 D、10个

分析：BAC是等腰三角形，腰和底分情况讨论：①AC、AB为腰：以A为圆心，AB长为半径画弧与坐标轴有4个交点；②AC、BC为腰：画AB的垂直平分线，与坐标轴有一个交点；③BC、AB为腰：以B为圆心，AB长为半径画弧与坐标轴有4个交点。符合条件的点C有9个。解：选C。

例3：在平面直角坐标系xoy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A（3，4）。连接OA，若在直线a上存在点P，使AOP是等腰三角形。那么所有满足条件的点P的坐标是 。

分析：根据坐标平面内等腰三角形第三顶点的确定方法，确定出适合条件的点P的位置及数目，应用勾股定理、三角形相似求出相关距离，根据点的坐标的意义写出点的坐标。

解：（8，4）或（-3，4）或（-2，4）或（-，4）。

已知平面直角坐标系中的两点，在相关图形上确定一点，使之构成等腰三角形的一般方法便是如此，分几个步骤，一一进行，可做到不重不漏。不过在具体解题时，还要注意题目的要求，适当取舍，以确保解题的简洁性。

例4：如图，抛物线y=ax2-5ax+4经过ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC。

1.求抛物线的对称轴；

2.写出A、B、C三点的坐标并求抛物线的解析式；

3.探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形。若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由。

分析：由顶点坐标公式容易求出对称轴，确定出B、A坐标，从而求出抛物线解析式。要在抛物线对称轴上且在x轴下方找一点P使PAB为等腰三角形，可能PA=PB，也可能PA=AB，也可能PB=AB，要逐一讨论，确定出P的合适位置，利用勾股定理、三角形相似求出相关长度，从而写出P点坐标。

解：1.抛物线的对称轴 ；

2.A（-3，0），B（5，4），C（0，4），把点A坐标代入y=ax2-5ax+4中，解得 。

3.存在符合条件的点P共有3个。以下分三类情形探索：

设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M。

过点B作BQx轴于Q，易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=

①以AB为腰且顶角为∠A的PAB有1个：P1AB。

AB2=AQ2+BQ2=82+42=80

在RtANP1中，P1N=√AP12-AN2=√AB2-AN2=√80-（5.5）2

=

②以AB为腰且顶角为∠B的PAB有1个：P2AB。

在RtBMP2中，MP2=√BP22-BM2=√AB2-BM2=

③以AB为底，顶角为∠P的PAB有1个，即P3AB。

画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰ABC的顶点C。

过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，显然RtP3CK∽RtBAQ。

P3K=2.5CK=5OK=1 P3（2.5，-1）。

实际上，坐标平面内已知两点找第三点构成等腰三角形的处理方法，同样适用于非坐标平面内的等腰三角形的底、腰不确定问题。

数学题目无穷尽，也做不完，但不少题目之间的思路与方法是相通的，如能抓住此类题目的本质，举一反三，触类旁通，定可突破传统的题海战役，实现轻松学数学。

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